Докажите, что для любых значений x и y выражение 9x^2 + 24xy + 16y^2 всегда неотрицательно.

Алгебра 9 класс Неравенства и квадратные выражения алгебра 9 класс неотрицательное выражение доказательство алгебры квадратные выражения свойства квадратов математическая неравенство Новый

Для того чтобы доказать, что выражение 9x^2 + 24xy + 16y^2 всегда неотрицательно, мы можем использовать метод выделения полного квадрата. Это позволит нам показать, что данное выражение всегда больше либо равно нулю.

Рассмотрим выражение 9x^2 + 24xy + 16y^2. Мы можем заметить, что оно имеет вид квадрата двучлена. Давайте попробуем его представить в виде (ax + by)^2.

1. Первый шаг: выделим полный квадрат.
2. Запишем 9x^2 и 16y^2 в виде квадратов: 9x^2 = (3x)^2 и 16y^2 = (4y)^2.
3. Теперь посмотрим на средний член 24xy. Мы знаем, что для выражения (3x + 4y)^2 выполняется следующее равенство:
• (3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2*(3x)*(4y) + (4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2.
4. Таким образом, мы можем записать:
• 9x^2 + 24xy + 16y^2 = (3x + 4y)^2.
5. Теперь, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, мы можем утверждать:
• (3x + 4y)^2 >= 0 для любых x и y.

Следовательно, выражение 9x^2 + 24xy + 16y^2 всегда неотрицательно для любых значений x и y.