Чтобы доказать, что выражение 4x^2 - 20xy + 25y^2 всегда неотрицательно, мы можем рассмотреть его как квадрат некоторого выражения. Давайте попробуем представить его в виде квадрата.

Начнем с того, что можем переписать данное выражение следующим образом:

1. Обратим внимание на коэффициенты: 4x^2 и 25y^2. Мы можем заметить, что 4 = (2)^2 и 25 = (5)^2.
2. Теперь попробуем представить выражение в виде полного квадрата. Для этого мы можем использовать формулу разности квадратов:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

В нашем случае:

• a = 2x,
• b = 5y.

Теперь подставим a и b в формулу:

(2x - 5y)^2 = (2x)^2 - 2*(2x)*(5y) + (5y)^2 = 4x^2 - 20xy + 25y^2.

Теперь мы видим, что:

4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2.

Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то:

(2x - 5y)^2 ≥ 0 для любых значений x и y.

Таким образом, мы доказали, что выражение 4x^2 - 20xy + 25y^2 всегда неотрицательно при любых значениях x и y.