Если углы a и b таковы, что a+b находится в интервале (0; Пи), и их тангенсы tg a и tg b являются корнями уравнения: x^2 + 5√3 * x - 4 = 0, то каким образом можно определить сумму a+b?

Алгебра 9 класс Тригонометрические функции и уравнения углы A и B тангенсы tg a и tg b уравнение x^2 + 5√3 * x - 4 = 0 сумма a+b интервал (0; Пи) алгебра 9 класс Новый

Чтобы решить задачу, начнем с того, что нам нужно найти корни уравнения:

x^2 + 5√3 * x - 4 = 0

Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем уравнении:

• a = 1
• b = 5√3
• c = -4

Теперь подставим эти значения в формулу:

x = (-(5√3) ± √((5√3)^2 - 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1)

Сначала вычислим дискриминант:

(5√3)^2 = 75

-4 * 1 * (-4) = 16

Дискриминант = 75 + 16 = 91

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

x = (-(5√3) ± √91) / 2

Таким образом, мы нашли два корня:

• x1 = (-(5√3) + √91) / 2
• x2 = (-(5√3) - √91) / 2

Теперь нам нужно определить тангенсы углов a и b:

tg a = x1

tg b = x2

Согласно формуле для суммы тангенсов, мы знаем, что:

tg(a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a * tg b)

Теперь найдем tg a + tg b и tg a * tg b:

• tg a + tg b = x1 + x2 = (-(5√3) + √91) / 2 + (-(5√3) - √91) / 2 = -5√3
• tg a * tg b = x1 * x2 = (-4) (по формуле Vieta для корней уравнения)

Теперь подставим эти выражения в формулу для tg(a + b):

tg(a + b) = (-5√3) / (1 - (-4)) = (-5√3) / 5 = -√3

Теперь нам нужно определить, какой угол соответствует тангенсу -√3. Мы знаем, что:

• tg(π/3) = √3
• tg(-π/3) = -√3

Таким образом, a + b = -π/3 + kπ, где k - целое число. Но поскольку a + b находится в интервале (0; π), мы можем заключить, что:

a + b = 2π/3

Итак, сумма углов a и b равна 2π/3.