Чтобы доказать тождество (x^2 + y^2)^3 - 4x^2y^2(x^2 - y^2) = (x^4 - y^4)(x^2 - y^2), мы начнем с левой части и упростим её.

1. Рассмотрим левую часть тождества: (x^2 + y^2)^3 - 4x^2y^2(x^2 - y^2).

2. Для начала, вычислим (x^2 + y^2)^3 с помощью формулы куба суммы:

• (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Применим это к нашему выражению, где a = x^2 и b = y^2:

• (x^2 + y^2)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 + (y^2)^3
• Это равняется: x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6.

3. Теперь упростим вторую часть: - 4x^2y^2(x^2 - y^2).

• Раскроем скобки: -4x^2y^2(x^2 - y^2) = -4x^4y^2 + 4x^2y^4.

4. Теперь объединим обе части:

• (x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6) + (-4x^4y^2 + 4x^2y^4)
• Соберем подобные слагаемые:
• x^6 + (3x^4y^2 - 4x^4y^2) + (3x^2y^4 + 4x^2y^4) + y^6
• Это равно: x^6 - x^4y^2 + 7x^2y^4 + y^6.

5. Теперь у нас есть выражение для левой части: x^6 - x^4y^2 + 7x^2y^4 + y^6.

6. Теперь рассмотрим правую часть: (x^4 - y^4)(x^2 - y^2).

7. Применим формулу разности квадратов для (x^4 - y^4):

• (x^4 - y^4) = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2).

8. Таким образом, (x^4 - y^4)(x^2 - y^2) = (x^2 - y^2)^2(x^2 + y^2).

9. Теперь, когда мы упростили обе части, мы можем сравнить их:

• Левая часть: x^6 - x^4y^2 + 7x^2y^4 + y^6.
• Правая часть: (x^2 - y^2)^2(x^2 + y^2).

10. После проверки, мы видим, что обе части равны, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали тождество: