Как можно найти корни уравнения? Прошу привести полное решение.

1. Решите уравнение: (x+2)/(x^2-2x) - x/(x-2) = 3/x

2. Решите уравнение: (x-1)^2 + (x+2)^2 - (x-1)(x+1) = 14

Пожалуйста, предоставьте полное решение.

Алгебра 9 класс Решение уравнений корни уравнения решение уравнения алгебра 9 класс уравнения с дробями Квадратные уравнения полное решение уравнения Новый

Давайте решим оба уравнения по очереди, подробно объяснив каждый шаг.

Первое уравнение: (x+2)/(x^2-2x) - x/(x-2) = 3/x

1. Приведем уравнение к общему знаменателю. Для этого найдем общий знаменатель для всех дробей. У нас есть:
• (x^2 - 2x) = x(x - 2)
• (x - 2)
• x
2. Общий знаменатель будет: x(x - 2).
3. Умножим каждую часть уравнения на этот общий знаменатель:
• x(x - 2) * (x + 2)/(x^2 - 2x) - x(x - 2) * x/(x - 2) = x(x - 2) * 3/x.
4. После сокращения дробей получим:
• (x(x - 2)(x + 2) - x^2(x - 2) = 3(x - 2).
5. Упростим уравнение:
• x(x^2 - 2x + 2x - 4) - x^2(x - 2) = 3(x - 2).
• x(x^2 - 4) - x^2(x - 2) = 3(x - 2).
6. Теперь раскроем скобки и упростим:
• x^3 - 4x - (x^3 - 2x^2) = 3x - 6.
• Соберем все в одну сторону:
• -4x + 2x^2 - 3x + 6 = 0.
• Упростим: 2x^2 - 7x + 6 = 0.
7. Решим квадратное уравнение: 2x^2 - 7x + 6 = 0. Используем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 2 * 6 = 49 - 48 = 1.
8. Корни уравнения:
• x1 = (7 + √1) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2,
• x2 = (7 - √1) / (2 * 2) = 6 / 4 = 1.5.
9. Проверим корни на возможность деления на ноль:
• При x = 2: знаменатель (x^2 - 2x) = 0, значит, x = 2 не подходит.
• При x = 1.5: все в порядке, подходит.
10. Ответ: x = 1.5.

Второе уравнение: (x-1)^2 + (x+2)^2 - (x-1)(x+1) = 14

1. Раскроем скобки:
• (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1,
• (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4,
• (x-1)(x+1) = x^2 - 1.
2. Подставим в уравнение:
• (x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 1) = 14.
3. Упростим:
• x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 - x^2 + 1 = 14.
• Соберем подобные:
• x^2 + 2x + 6 = 14.
4. Переносим 14 в другую сторону:
• x^2 + 2x - 8 = 0.
5. Решим квадратное уравнение: x^2 + 2x - 8 = 0. Используем дискриминант:
• D = 2^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.
6. Корни уравнения:
• x1 = (-2 + √36) / 2 = 4 / 2 = 2,
• x2 = (-2 - √36) / 2 = -8 / 2 = -4.
7. Ответ: x = 2 и x = -4.

Таким образом, мы нашли корни обоих уравнений:

• Первое уравнение: x = 1.5.
• Второе уравнение: x = 2 и x = -4.