Чтобы определить корни многочлена 2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4, мы можем использовать несколько методов. Я расскажу о некоторых из них:

Первым шагом можно попробовать найти целые корни многочлена. Для этого используем теорему о делителях свободного члена. Свободный член у нас равен 4, а его делители: ±1, ±2, ±4.

• Подставляем x = 1: 2(1)^5 + (1)^4 - 10(1)^3 - 5(1)^2 + 8(1) + 4 = 2 + 1 - 10 - 5 + 8 + 4 = 0. Значит, x = 1 - корень.
• Подставляем x = -1: 2(-1)^5 + (-1)^4 - 10(-1)^3 - 5(-1)^2 + 8(-1) + 4 = -2 + 1 + 10 - 5 - 8 + 4 = 0. Значит, x = -1 - корень.
• Подставляем x = 2: 2(2)^5 + (2)^4 - 10(2)^3 - 5(2)^2 + 8(2) + 4 = 64 + 16 - 80 - 20 + 16 + 4 = 0. Значит, x = 2 - корень.

Теперь, когда мы нашли корни, мы можем использовать деление многочлена для упрощения. Если x = 1, x = -1 и x = 2 - корни, то мы можем разделить многочлен на (x - 1)(x + 1)(x - 2).

Сначала разделим на (x - 1):

1. Выполним деление многочлена на (x - 1) с помощью деления столбиком.
2. После этого мы получим новый многочлен, который нужно будет делить на (x + 1) и затем на (x - 2).

Если корни не удаётся найти аналитически, можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, с помощью графиков или специализированных программ.

Также можно построить график функции и посмотреть, где он пересекает ось x. Это даст наглядное представление о корнях.

Таким образом, мы можем определить корни многочлена разными способами, и если у вас остались вопросы по конкретному методу, не стесняйтесь спрашивать!