Как можно определить общее решение дифференциального уравнения y' = x^3 + 4x^2 + 1?

Алгебра 9 класс Дифференциальные уравнения определение общего решения Дифференциальное уравнение y' = x^3 + 4x^2 + 1 алгебра 9 класс решение уравнения Новый

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка вида y' = f(x), где f(x) = x^3 + 4x^2 + 1, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Давайте рассмотрим шаги, которые необходимо выполнить для решения данного уравнения.

1. Запишем уравнение:

   y' = x^3 + 4x^2 + 1

2. Определим, что y' = dy/dx:

   Это значит, что мы можем переписать уравнение как:

   dy/dx = x^3 + 4x^2 + 1

3. Интегрируем обе стороны уравнения:

   Чтобы найти y, нам нужно проинтегрировать правую часть уравнения:

   y = ∫(x^3 + 4x^2 + 1) dx

4. Выполним интегрирование:
   • Интеграл от x^3 равен (1/4)x^4.
   • Интеграл от 4x^2 равен (4/3)x^3.
   • Интеграл от 1 равен x.

   Таким образом, получаем:

   y = (1/4)x^4 + (4/3)x^3 + x + C,

   где C - произвольная константа интегрирования.

5. Записываем общее решение:

   Общее решение данного дифференциального уравнения можно записать как:

   y = (1/4)x^4 + (4/3)x^3 + x + C.

Таким образом, мы нашли общее решение данного дифференциального уравнения. Не забывайте, что константа C может принимать любые значения, что и делает решение общим.