Как можно решить дифференциальное уравнение ydx = (x + 1)dy?

Алгебра 9 класс Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения алгебра 9 класс ydx = (x + 1)dy методы решения уравнений математические задачи Новый

Для решения данного дифференциального уравнения ydx = (x + 1)dy, давайте сначала перепишем его в более удобной форме. Мы можем разделить переменные, чтобы упростить процесс решения.

1. Перепишем уравнение:

y dx = (x + 1) dy

2. Теперь разделим переменные. Для этого мы можем выразить все члены, содержащие y, с одной стороны, а все члены, содержащие x, с другой стороны:

y dx - (x + 1) dy = 0

3. Теперь разделим переменные:

(1/y) dy = (1/(x + 1)) dx

4. Теперь мы можем интегрировать обе стороны:
• Интегрируем левую сторону: ∫(1/y) dy = ln|y| + C1
• Интегрируем правую сторону: ∫(1/(x + 1)) dx = ln|x + 1| + C2
5. После интеграции у нас получится:

ln|y| = ln|x + 1| + C

где C = C2 - C1 — произвольная константа.

6. Теперь мы можем избавиться от логарифмов, применив экспоненциальную функцию:

|y| = e^(ln|x + 1| + C) = |x + 1| * e^C

7. Обозначим e^C как K (где K > 0 — константа), тогда:

|y| = K * |x + 1|

8. Таким образом, мы можем записать общее решение этого дифференциального уравнения в виде:

y = K * (x + 1) или y = -K * (x + 1)

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения. Мы можем оставить K произвольной константой, которая будет определяться начальными условиями, если они будут заданы.