Как можно решить уравнение 2cos²(2x) + 3cos²(x) = 2?

Алгебра 9 класс Решение тригонометрических уравнений решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические уравнения cos2 методы решения уравнений примеры уравнений алгебраические задачи Новый

Для решения уравнения 2cos²(2x) + 3cos²(x) = 2, давайте начнем с преобразования его в более удобный вид.

Шаг 1: Используем формулу для cos(2x)

Мы знаем, что cos(2x) = 2cos²(x) - 1. Таким образом, можем выразить cos²(2x):

• cos²(2x) = (cos(2x))² = (2cos²(x) - 1)².

Теперь подставим это в наше уравнение:

2(2cos²(x) - 1)² + 3cos²(x) = 2.

Шаг 2: Раскроем скобки

Раскроем квадрат:

• (2cos²(x) - 1)² = 4cos⁴(x) - 4cos²(x) + 1.

Подставляем это обратно в уравнение:

2(4cos⁴(x) - 4cos²(x) + 1) + 3cos²(x) = 2.

Шаг 3: Упрощаем уравнение

Раскроем скобки:

8cos⁴(x) - 8cos²(x) + 2 + 3cos²(x) = 2.

Теперь упростим:

8cos⁴(x) - 5cos²(x) + 2 = 2.

Отнимем 2 с обеих сторон:

8cos⁴(x) - 5cos²(x) = 0.

Шаг 4: Вынесем общий множитель

Вынесем cos²(x):

cos²(x)(8cos²(x) - 5) = 0.

Шаг 5: Найдем корни уравнения

• Первый множитель: cos²(x) = 0. Это означает, что cos(x) = 0. Значит, x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.
• Второй множитель: 8cos²(x) - 5 = 0. Решим это уравнение:

8cos²(x) = 5

cos²(x) = 5/8

cos(x) = ±√(5/8) = ±√5/2√2 = ±√10/4.

Шаг 6: Найдем углы

Теперь найдем значения x:

• cos(x) = √10/4: x = ±arccos(√10/4) + 2kπ, где k - целое число.
• cos(x) = -√10/4: x = ±arccos(-√10/4) + 2kπ, где k - целое число.

Итак, итоговые решения:

x = (2k + 1)π/2 или x = arccos(√10/4) + 2kπ, x = -arccos(√10/4) + 2kπ, x = arccos(-√10/4) + 2kπ, x = -arccos(-√10/4) + 2kπ.

Таким образом, мы нашли все возможные решения данного уравнения!