Как можно решить уравнение 9 (х + 1/х) - 2 (х^2 + 1/х^2) = 14?

Алгебра 9 класс Решение уравнений решение уравнения алгебра 9 класс уравнение 9 (х + 1/х) 2 (х^2 + 1/х^2) алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 9 (x + 1/x) - 2 (x^2 + 1/x^2) = 14, следуем следующим шагам:

1. Упростим уравнение: Переносим 14 на левую сторону:

9 (x + 1/x) - 2 (x^2 + 1/x^2) - 14 = 0

2. Вводим замену: Обозначим y = x + 1/x. Тогда можно выразить x^2 + 1/x^2 через y:

Известно, что x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = y^2 - 2.

3. Подставляем это в уравнение:

Теперь у нас есть:

9y - 2(y^2 - 2) - 14 = 0

4. Раскроем скобки:

9y - 2y^2 + 4 - 14 = 0

Что упрощается до:

-2y^2 + 9y - 10 = 0

5. Умножим уравнение на -1 для удобства:

2y^2 - 9y + 10 = 0

6. Решим квадратное уравнение: Используем формулу корней квадратного уравнения:

y = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = -9, c = 10.

• Вычисляем дискриминант: D = (-9)^2 - 4 * 2 * 10 = 81 - 80 = 1.
• Теперь находим корни:
• y1 = (9 + √1) / (2 * 2) = (9 + 1) / 4 = 10 / 4 = 2.5.
• y2 = (9 - √1) / (2 * 2) = (9 - 1) / 4 = 8 / 4 = 2.
7. Теперь возвращаемся к переменной x: У нас есть два значения y:
• Для y1 = 2.5: x + 1/x = 2.5. Умножим на x:

x^2 - 2.5x + 1 = 0.

• Находим дискриминант: D = (2.5)^2 - 4 * 1 * 1 = 6.25 - 4 = 2.25.
• Корни: x = (2.5 ± √2.25) / 2 = (2.5 ± 1.5) / 2, что дает x1 = 2 и x2 = 0.5.
• Для y2 = 2: x + 1/x = 2. Умножим на x:

x^2 - 2x + 1 = 0.

• Это уравнение имеет корень: x = 1.

Таким образом, решения уравнения:

• x = 2,
• x = 0.5,
• x = 1.