Как найти неопределенные интегралы способом подстановки для выражения ∫ 10t * √(t² - 3) dt на интервале от b до a?

Алгебра 9 класс Неопределенные интегралы неопределенные интегралы способ подстановки интеграл 10t √(t² - 3) интегрирование алгебра 9 класс математический анализ Новый

Чтобы найти неопределенный интеграл ∫ 10t * √(t² - 3) dt с использованием метода подстановки, следуйте этим шагам:

Шаг 1: Выбор подстановки

Сначала выберем подходящую подстановку. В данном случае, подставим:

• u = t² - 3

Тогда, чтобы выразить dt, нам нужно найти производную u по t:

• du/dt = 2t
• du = 2t dt

Из этого уравнения мы можем выразить dt:

• dt = du / (2t)

Шаг 2: Подстановка в интеграл

Теперь подставим u и dt в наш интеграл:

• ∫ 10t * √(t² - 3) dt = ∫ 10t * √(u) * (du / (2t))

Здесь t в числителе и в знаменателе сокращается:

• ∫ 10 * √(u) * (du / 2) = ∫ 5 * √(u) du

Шаг 3: Интегрирование

Теперь нам нужно найти интеграл ∫ 5 * √(u) du. Мы можем записать √(u) как u^(1/2):

• ∫ 5 * u^(1/2) du

Теперь применим правило интегрирования для степенной функции:

• ∫ u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C, где n = 1/2

Таким образом, получаем:

• 5 * (u^(3/2))/ (3/2) + C = (10/3) * u^(3/2) + C

Шаг 4: Подстановка обратно

Теперь подставим обратно u = t² - 3:

• (10/3) * (t² - 3)^(3/2) + C

Шаг 5: Итог

Таким образом, неопределенный интеграл ∫ 10t * √(t² - 3) dt равен:

• (10/3) * (t² - 3)^(3/2) + C

Теперь, если вам нужно вычислить определенный интеграл на интервале от b до a, вам нужно подставить значения a и b в полученную формулу и вычесть:

• ∫ (от b до a) 10t * √(t² - 3) dt = [(10/3) * (a² - 3)^(3/2) - (10/3) * (b² - 3)^(3/2)]

Таким образом, вы получите значение определенного интеграла на заданном интервале.