Чтобы найти площадь области, заключенной между кривой y = -x² + x и осью y (y = 0),нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти точки пересечения кривой и оси y (y = 0)

Для этого нужно решить уравнение:

-x² + x = 0

Вынесем x за скобки:

x(-x + 1) = 0

Теперь у нас есть два решения:

• x = 0
• -x + 1 = 0 ⇒ x = 1

Таким образом, точки пересечения кривой с осью y — это x = 0 и x = 1.

Шаг 2: Найти интеграл функции

Теперь мы можем найти площадь, заключенную между кривой и осью y, используя определенный интеграл. Площадь S можно выразить как:

S = ∫ (от 0 до 1) (-x² + x) dx

Шаг 3: Вычислить интеграл

Теперь вычислим интеграл:

1. Находим первообразную функции -x² + x:
• Первообразная от -x² равна -x³/3
• Первообразная от x равна x²/2
2. Таким образом, первообразная функции -x² + x равна:

-x³/3 + x²/2

Шаг 4: Подставить пределы интегрирования

Теперь подставим пределы интегрирования:

S = [-x³/3 + x²/2] (от 0 до 1)

Сначала подставим верхний предел (x = 1):

S(1) = -(1)³/3 + (1)²/2 = -1/3 + 1/2 = -1/3 + 3/6 = 1/6

Теперь подставим нижний предел (x = 0):

S(0) = -(0)³/3 + (0)²/2 = 0

Теперь находим разность:

S = S(1) - S(0) = 1/6 - 0 = 1/6

Шаг 5: Записать окончательный ответ

Таким образом, площадь области, заключенной между кривой y = -x² + x и осью y (y = 0),равна 1/6.