Чтобы найти площадь, ограниченную линиями y = (x + 1)^2, y = (1 - x) и x = 0, мы будем следовать нескольким шагам.

Для начала определим, где пересекаются графики функций y = (x + 1)^2 и y = (1 - x). Для этого приравняем их:

1. (x + 1)^2 = 1 - x

Теперь раскроем скобки:

1. x^2 + 2x + 1 = 1 - x

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

1. x^2 + 2x + 1 + x - 1 = 0
2. x^2 + 3x = 0

Факторизуем уравнение:

1. x(x + 3) = 0

Теперь находим корни:

1. x = 0
2. x = -3

Таким образом, точки пересечения функций находятся в x = 0 и x = -3.

Теперь найдем значения y для этих x:

1. Для x = 0: y = (0 + 1)^2 = 1
2. Для x = -3: y = (-3 + 1)^2 = 4

Таким образом, мы имеем точки пересечения: (-3, 4) и (0, 1).

Теперь нужно понять, какая из функций находится выше на отрезке от x = -3 до x = 0. Для этого подставим любое значение из этого интервала, например, x = -2:

1. y = (-2 + 1)^2 = 1
2. y = 1 - (-2) = 3

Таким образом, при x = -2, функция y = (1 - x) выше, чем y = (x + 1)^2.

Теперь мы можем найти площадь, ограниченную этими кривыми. Площадь можно вычислить по следующей формуле:

1. Площадь = интеграл от -3 до 0 (верхняя функция - нижняя функция) dx

Подставим наши функции:

1. Площадь = интеграл от -3 до 0 ((1 - x) - (x + 1)^2) dx

Упростим подынтегральное выражение:

1. (1 - x) - (x^2 + 2x + 1) = -x^2 - 3x

Теперь вычислим интеграл:

1. Площадь = интеграл от -3 до 0 (-x^2 - 3x) dx

Находим первообразную:

1. Площадь = [-x^3/3 - (3/2)x^2] от -3 до 0

Теперь подставим границы интегрирования:

1. Площадь = [0 - 0] - [(-(-3)^3/3) - (3/2)(-3)^2]
2. Площадь = 0 - [9 - 13.5] = 0 - (-4.5) = 4.5

Площадь, ограниченная заданными линиями, равна 4.5.