Как найти решение уравнения (x²+2x)²-23(x²+2x)-24=0?

Алгебра 9 класс Решение уравнений решение уравнения алгебра 9 класс уравнение второй степени квадратное уравнение методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение (x² + 2x)² - 23(x² + 2x) - 24 = 0, начнем с упрощения. Заметим, что выражение x² + 2x можно обозначить новой переменной. Давайте введем замену:

Шаг 1: Вводим замену

Пусть:

y = x² + 2x

Теперь наше уравнение принимает вид:

(y)² - 23y - 24 = 0

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y. Мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -23
• c = -24

Подставим значения a, b и c в формулу:

y = (23 ± √((-23)² - 4 * 1 * (-24))) / (2 * 1)

Теперь вычислим дискриминант:

D = (-23)² - 4 * 1 * (-24) = 529 + 96 = 625

Теперь подставим дискриминант в формулу:

y = (23 ± √625) / 2

√625 = 25, поэтому:

y = (23 ± 25) / 2

Шаг 3: Находим корни

Теперь найдем два значения y:

1. y1 = (23 + 25) / 2 = 48 / 2 = 24
2. y2 = (23 - 25) / 2 = -2 / 2 = -1

Шаг 4: Возвращаемся к переменной x

Теперь нам нужно вернуть y в исходное выражение x² + 2x:

1. Для y1 = 24:

x² + 2x - 24 = 0

Решим это уравнение:

D = 2² - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100

x = (-2 ± √100) / 2

√100 = 10, следовательно:

1. x1 = (-2 + 10) / 2 = 8 / 2 = 4
2. x2 = (-2 - 10) / 2 = -12 / 2 = -6
2. Для y2 = -1:

x² + 2x + 1 = 0

Это уравнение можно записать как (x + 1)² = 0, что дает:

1. x3 = -1

Шаг 5: Итоговые решения

Таким образом, мы нашли все решения исходного уравнения:

• x1 = 4
• x2 = -6
• x3 = -1

Ответ: x = 4, x = -6, x = -1.