Как найти стороны прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 14 см больше другого катета и на 2 см меньше гипотенузы?

Алгебра 9 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник катеты гипотенуза алгебра задачи по алгебре нахождение сторон геометрия математические задачи Новый

Для решения задачи необходимо обозначить стороны прямоугольного треугольника. Пусть:

• a - длина меньшего катета;
• b - длина большего катета;
• c - длина гипотенузы.

Согласно условию задачи, один катет на 14 см больше другого. Это можно записать следующим образом:

b = a + 14

Также известно, что гипотенуза на 2 см больше большего катета:

c = b + 2

Теперь подставим выражение для b в уравнение для c:

c = (a + 14) + 2 = a + 16

Теперь у нас есть три стороны треугольника: a, b = a + 14 и c = a + 16. Поскольку треугольник прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a² + b² = c²

Подставим в это уравнение выражения для b и c:

a² + (a + 14)² = (a + 16)²

Теперь раскроем скобки:

a² + (a² + 28a + 196) = (a² + 32a + 256)

Сложим подобные члены:

2a² + 28a + 196 = a² + 32a + 256

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

2a² + 28a + 196 - a² - 32a - 256 = 0

Упрощаем уравнение:

a² - 4a - 60 = 0

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-60) = 16 + 240 = 256

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два решения:

a = (4 ± √256) / 2

Находим корень из дискриминанта:

√256 = 16

Теперь подставим значение:

a = (4 ± 16) / 2

Это дает два возможных значения:

• a = (20) / 2 = 10;
• a = (-12) / 2 = -6 (отрицательное значение не подходит).

Таким образом, a = 10 см. Теперь находим b и c:

b = a + 14 = 10 + 14 = 24 см

c = a + 16 = 10 + 16 = 26 см

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника имеют следующие длины:

• Меньший катет (a) = 10 см
• Больший катет (b) = 24 см
• Гипотенуза (c) = 26 см