Как определить максимальное и минимальное значение функции y = x^3 - 2x^2 + x - 1 на интервале [0; 1]?

Алгебра 9 класс Оптимизация функции на отрезке максимальное значение функции минимальное значение функции интервал [0; 1] y = x^3 - 2x^2 + x - 1 алгебра 9 класс Новый

Чтобы найти максимальное и минимальное значение функции y = x^3 - 2x^2 + x - 1 на интервале [0; 1], необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем производную функции. Производная функции поможет нам определить критические точки, где функция может иметь максимумы или минимумы. Мы вычислим первую производную функции y:
• y' = 3x^2 - 4x + 1
2. Найдем критические точки. Для этого решим уравнение y' = 0:
• 3x^2 - 4x + 1 = 0
3. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4
• Корни уравнения будут: x = (4 ± √D) / (2 * 3) = (4 ± 2) / 6
• Таким образом, получаем два корня: x1 = 1 и x2 = 1/3.
4. Теперь определим, какие из критических точек находятся в интервале [0; 1]. Критические точки x1 = 1 и x2 = 1/3 обе находятся в заданном интервале.
5. Теперь найдем значение функции в критических точках и на границах интервала. Нам нужно вычислить y для x = 0, x = 1/3 и x = 1:
• y(0) = 0^3 - 2*0^2 + 0 - 1 = -1
• y(1/3) = (1/3)^3 - 2*(1/3)^2 + (1/3) - 1 = 1/27 - 2/9 + 1/3 - 1 = 1/27 - 6/27 + 9/27 - 27/27 = -26/27
• y(1) = 1^3 - 2*1^2 + 1 - 1 = 1 - 2 + 1 - 1 = -1
6. Сравним все найденные значения функции:
• y(0) = -1
• y(1/3) = -26/27 ≈ -0.962
• y(1) = -1
7. Определим максимальное и минимальное значение:
• Минимальное значение функции на интервале [0; 1] равно -1 (достигается в точках x = 0 и x = 1).
• Максимальное значение функции на интервале [0; 1] равно -26/27 (достигается в точке x = 1/3).

Таким образом, максимальное значение функции на интервале [0; 1] составляет -26/27, а минимальное значение -1.