Как определить участки, где функция (2х-4)^3(х+1)^2 возрастает и убывает?

Алгебра 9 класс Промежутки возрастания и убывания функции определить участки функция возрастает функция убывает алгебра 9 класс анализ функции производная функции математический анализ Новый

Чтобы определить участки, где функция f(x) = (2x - 4)^3(x + 1)^2 возрастает и убывает, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции f(x).

Производная функции покажет, где функция возрастает или убывает. Мы будем использовать правило произведения и правило цепочки для нахождения производной.

2. Определить критические точки.

Критические точки - это точки, где производная равна нулю или не существует. Эти точки помогут нам разделить область на интервалы.

3. Построить знак производной на интервалах.

После нахождения критических точек мы будем исследовать знак производной на каждом интервале, чтобы понять, где функция возрастает, а где убывает.

4. Сделать вывод.

На основании знака производной в каждом интервале мы сможем определить участки возрастания и убывания функции.

Теперь давайте подробно рассмотрим каждый шаг.

1. Найдем производную f(x):

Используем правило производной для произведения:

f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x), где u(x) = (2x - 4)^3 и v(x) = (x + 1)^2.

Сначала найдем u'(x) и v'(x):

• u'(x) = 3(2x - 4)^2 * 2 = 6(2x - 4)^2
• v'(x) = 2(x + 1)

Теперь подставим в формулу для производной:

f'(x) = 6(2x - 4)^2(x + 1)^2 + (2x - 4)^3 * 2(x + 1)

Упростим производную:

f'(x) = (2x - 4)^2(x + 1) [6(x + 1) + 2(2x - 4)]

f'(x) = (2x - 4)^2(x + 1)(6x + 6 + 4x - 8)

f'(x) = (2x - 4)^2(x + 1)(10x - 2)

2. Найдем критические точки:

Теперь найдем, где f'(x) = 0:

• (2x - 4)^2 = 0 → x = 2
• (x + 1) = 0 → x = -1
• (10x - 2) = 0 → x = 0.2

Таким образом, критические точки: x = -1, x = 0.2, x = 2.

3. Построим знак производной:

Теперь разбиваем ось x на интервалы по найденным критическим точкам:

• (-∞, -1)
• (-1, 0.2)
• (0.2, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак f'(x) на каждом интервале:

• Для x < -1 (например, x = -2): f'(-2) > 0, функция возрастает.
• Для -1 < x < 0.2 (например, x = 0): f'(0) < 0, функция убывает.
• Для 0.2 < x < 2 (например, x = 1): f'(1) > 0, функция возрастает.
• Для x > 2 (например, x = 3): f'(3) < 0, функция убывает.

4. Вывод:

Таким образом, функция возрастает на интервалах:

• (-∞, -1)
• (0.2, 2)

Функция убывает на интервалах:

• (-1, 0.2)
• (2, +∞)

Итак, мы определили участки возрастания и убывания функции f(x).