Как решить неравенство 2^(2x-1) – 7*2^(x-1)+5 ≤ 0? Пожалуйста, опишите все шаги подробно!

Алгебра 9 класс Неравенства с показателями решение неравенства алгебра шаги решения неравенство 2^(2x-1) 7*2^(x-1) 5 ≤ 0 Новый

Привет! Давай разберемся, как решить это неравенство шаг за шагом. Мы будем работать с выражением 2^(2x-1) – 7*2^(x-1) + 5 ≤ 0.

Шаг 1: Упростим выражение.

Сначала заметим, что 2^(2x-1) можно переписать как (2^x)^2 / 2, а 2^(x-1) как (2^x) / 2. Это поможет нам упростить неравенство.

Обозначим y = 2^x. Тогда:

• 2^(2x-1) = y^2 / 2
• 7*2^(x-1) = 7y / 2

Теперь подставим это в неравенство:

(y^2 / 2) - (7y / 2) + 5 ≤ 0.

Шаг 2: Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей.

Умножим всё неравенство на 2 (при этом знак неравенства не меняется, так как 2 положительное):

y^2 - 7y + 10 ≤ 0.

Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения.

Теперь у нас есть квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения y^2 - 7y + 10 = 0. Используем формулу корней:

y = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -7, c = 10.

Подставим значения:

y = (7 ± √((-7)² - 4*1*10)) / (2*1) = (7 ± √(49 - 40)) / 2 = (7 ± √9) / 2 = (7 ± 3) / 2.

Теперь найдем два корня:

• y1 = (7 + 3) / 2 = 10 / 2 = 5
• y2 = (7 - 3) / 2 = 4 / 2 = 2

Шаг 4: Запишем неравенство с корнями.

Теперь у нас есть корни y = 2 и y = 5. Мы можем записать неравенство в виде:

(y - 2)(y - 5) ≤ 0.

Шаг 5: Определим промежутки.

Теперь найдем, на каких промежутках это неравенство выполняется. Мы проверим знаки в интервалах:

• y < 2
• 2 ≤ y ≤ 5
• y > 5

Проверим каждый интервал:

• Для y < 2: например, y = 0. (0 - 2)(0 - 5) = 10 > 0.
• Для 2 ≤ y ≤ 5: например, y = 3. (3 - 2)(3 - 5) = -2 < 0.
• Для y > 5: например, y = 6. (6 - 2)(6 - 5) = 4 > 0.

Таким образом, неравенство выполняется на промежутке 2 ≤ y ≤ 5.

Шаг 6: Вернемся к переменной x.

Теперь нам нужно вернуться к y = 2^x. Мы знаем, что:

• 2 ≤ 2^x ≤ 5.

Решим это неравенство:

• 2^x ≥ 2 (это значит x ≥ 1)
• 2^x ≤ 5 (это значит x ≤ log2(5)).

Таким образом, у нас есть:

1 ≤ x ≤ log2(5).

Шаг 7: Запишем ответ.

Ответ: x принадлежит отрезку [1, log2(5)]. Вот и всё! Если что-то непонятно, спрашивай!