Как решить неравенство: 4^x/(4^x-3^x) < 4?

Алгебра 9 класс Неравенства с показателями неравенство решение неравенства алгебра 9 класс 4^x 3^x математические задачи алгебраические выражения Новый

Чтобы решить неравенство 4^x/(4^x-3^x) < 4, начнем с преобразования неравенства для упрощения.

1. Переносим 4 в левую часть неравенства:

4^x/(4^x - 3^x) - 4 < 0

2. Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель будет (4^x - 3^x):

(4^x - 4(4^x - 3^x)) / (4^x - 3^x) < 0

3. Упрощаем числитель:

4^x - 4 * 4^x + 4 * 3^x = -3 * 4^x + 4 * 3^x

4. Теперь неравенство выглядит так:

(-3 * 4^x + 4 * 3^x) / (4^x - 3^x) < 0

5. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится:

(3 * 4^x - 4 * 3^x) / (3^x - 4^x) > 0

6. Теперь мы можем рассмотреть числитель и знаменатель отдельно:
• Числитель: 3 * 4^x - 4 * 3^x
• Знаменатель: 3^x - 4^x
7. Рассмотрим числитель. Мы можем выделить общий множитель:

3 * 4^x - 4 * 3^x = 3 * 4^x - 4 * 4^(x * log_4(3)) = 4^x(3 - 4 * (3/4)^x)

8. Теперь числитель равен нулю, когда:

3 - 4 * (3/4)^x = 0

(3/4)^x = 3/4

x = 1

9. Теперь рассмотрим знаменатель:

3^x - 4^x = 0

3^x = 4^x

(3/4)^x = 1

x = 0

Теперь у нас есть два критических значения: x = 0 и x = 1. Эти точки разделяют числовую прямую на три интервала:

• x < 0
• 0 < x < 1
• x > 1

Теперь мы проверим знак выражения в каждом интервале:

• Для x < 0: например, x = -1

  (3 * 4^(-1) - 4 * 3^(-1)) / (3^(-1) - 4^(-1) > 0

• Для 0 < x < 1: например, x = 0.5

  (3 * 4^(0.5) - 4 * 3^(0.5)) / (3^(0.5) - 4^(0.5) < 0

• Для x > 1: например, x = 2

  (3 * 4^(2) - 4 * 3^(2)) / (3^(2) - 4^(2) > 0

Таким образом, знак выражения положителен на интервалах (-∞, 0) и (1, +∞), а отрицателен на интервале (0, 1).

Итак, решение неравенства 4^x/(4^x-3^x) < 4 будет:

x ∈ (0, 1).