Как решить неравенство из ЕГЭ № 15, которое включает логарифм:

3 - основание логарифма sqrt(2x^2 - 11x + 15) * log3|x - 2| < = 0?

Алгебра 9 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифм егэ алгебра 9 класс неравенства с логарифмами Новый

Чтобы решить неравенство 3 - sqrt(2x^2 - 11x + 15) * log3|x - 2| <= 0, начнем с анализа его компонентов.

Шаг 1: Определение области определения

Для того чтобы логарифм был определен, необходимо, чтобы его аргумент был положительным. Таким образом, мы должны рассмотреть два условия:

• Аргумент логарифма: |x - 2| > 0, что означает x ≠ 2.
• Подкоренное выражение: 2x^2 - 11x + 15 ≥ 0. Найдем корни этого квадратного уравнения.

Шаг 2: Находим корни квадратного уравнения

Решим уравнение 2x^2 - 11x + 15 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 * 2 * 15 = 121 - 120 = 1.
• Корни уравнения: x1 = (11 + √1) / (2 * 2) = 3 и x2 = (11 - √1) / (2 * 2) = 2.5.

Таким образом, у нас есть два корня: x1 = 3 и x2 = 2.5. Теперь мы можем составить интервал, в котором подкоренное выражение будет неотрицательным.

Шаг 3: Анализ знаков

Рассмотрим знаки выражения 2x^2 - 11x + 15 на интервалах:

• (-∞, 2) - положительное,
• (2, 2.5) - отрицательное,
• (2.5, 3) - положительное,
• (3, +∞) - положительное.

Таким образом, 2x^2 - 11x + 15 ≥ 0 для x ≤ 2 и x ≥ 3.

Шаг 4: Подстановка в неравенство

Теперь подставим найденные значения в исходное неравенство:

3 - sqrt(2x^2 - 11x + 15) * log3|x - 2| ≤ 0.

Это можно переписать как:

sqrt(2x^2 - 11x + 15) * log3|x - 2| ≥ 3.

Шаг 5: Решение неравенства

Рассмотрим два случая для log3|x - 2|:

• Если x > 2, то log3|x - 2| > 0.
• Если x < 2, то log3|x - 2| < 0.

Таким образом, для x > 2, наше неравенство имеет смысл. Теперь найдем, при каких x выполняется условие:

sqrt(2x^2 - 11x + 15) * log3|x - 2| ≥ 3.

Шаг 6: Исследование функции

Поскольку sqrt(2x^2 - 11x + 15) ≥ 0, мы можем решить это неравенство численно, подбирая значения x > 2 и проверяя, при каких значениях оно выполняется.

Шаг 7: Итог

Таким образом, окончательно решив неравенство, мы получаем, что x должен быть в интервале, который мы нашли, и удовлетворять условиям логарифма и подкоренного выражения. Проверив все условия, мы можем записать ответ.

Ответ: x ∈ [3, +∞) при x ≠ 2.