Как решить неравенство log3(x+12) > log3(x^2) и выяснить, сколько целых решений оно имеет в интервале [-15;15]?

Алгебра 9 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмы целые решения интервал алгебра 9 класс log3 неравенство log3 x+12 x^2 математические задачи Новый

Чтобы решить неравенство log3(x+12) > log3(x^2), начнем с того, что логарифм является строго возрастающей функцией. Это означает, что если log3(a) > log3(b), то a > b при условии, что a и b положительны.

Таким образом, мы можем переписать наше неравенство:

Шаг 1: Переписывание неравенства

• x + 12 > x^2

Теперь мы можем перенести все элементы в одну сторону неравенства:

Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону

• 0 > x^2 - x - 12

Это можно переписать как:

Шаг 3: Упрощение неравенства

• x^2 - x - 12 < 0

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство x^2 - x - 12 < 0. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения x^2 - x - 12 = 0.

Шаг 4: Нахождение корней уравнения

• Используем формулу корней: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -12.
• Подставляем значения: x = (1 ± √((-1)² - 4*1*(-12))) / (2*1).
• Вычисляем: x = (1 ± √(1 + 48)) / 2 = (1 ± √49) / 2 = (1 ± 7) / 2.
• Таким образом, корни: x1 = (1 + 7) / 2 = 4 и x2 = (1 - 7) / 2 = -3.

Теперь у нас есть корни x1 = 4 и x2 = -3. Эти корни делят числовую прямую на три интервала:

Шаг 5: Определение интервалов

• (-∞, -3)
• (-3, 4)
• (4, +∞)

Теперь мы проверим знак выражения x^2 - x - 12 в каждом из этих интервалов.

Шаг 6: Проверка знаков

• Для интервала (-∞, -3): выберем, например, x = -4. Подставляем: (-4)^2 - (-4) - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 (положительно).
• Для интервала (-3, 4): выберем, например, x = 0. Подставляем: 0^2 - 0 - 12 = -12 (отрицательно).
• Для интервала (4, +∞): выберем, например, x = 5. Подставляем: 5^2 - 5 - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 (положительно).

Таким образом, неравенство x^2 - x - 12 < 0 выполняется только на интервале (-3, 4).

Шаг 7: Учет ограничений

Теперь нам нужно учитывать ограничения, заданные в условии задачи, то есть интервал [-15, 15]. Поскольку интервал решения (-3, 4) полностью находится в пределах [-15, 15], мы можем найти целые решения в этом интервале.

Шаг 8: Нахождение целых решений

Целые числа в интервале (-3, 4): -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Шаг 9: Подсчет целых решений

Итак, у нас есть следующие целые решения: -2, -1, 0, 1, 2, 3. Это 6 целых чисел.

Таким образом, неравенство log3(x+12) > log3(x^2 имеет 6 целых решений в интервале [-15; 15].