Как решить следующие неравенства и уравнения:

1. Неравенства:
• a) 9x - 11 > 5(2x - 3)
• б) x² + 7x - 8 > 0
2. Уравнения:
• а) 3x - 2√x - 8 = 0
• б) √2x + √15 = x

Алгебра 9 класс Неравенства и уравнения с переменной неравенства уравнения алгебра 9 класс решение неравенств решение уравнений математические задачи алгебраические выражения Квадратные неравенства корни уравнений Новый

Давайте разберем каждое из неравенств и уравнений по порядку.

Неравенства:

• а) 9x - 11 > 5(2x - 3)
  1. Сначала раскроем скобки: 5(2x - 3) = 10x - 15.
  2. Теперь неравенство выглядит так: 9x - 11 > 10x - 15.
  3. Переносим все слагаемые с x в одну сторону, а свободные в другую: 9x - 10x > -15 + 11.
  4. Получаем: -x > -4.
  5. Умножаем обе стороны на -1 (не забываем сменить знак неравенства): x < 4.
  6. Ответ: x < 4.
• б) x² + 7x - 8 > 0
  1. Сначала найдем корни уравнения x² + 7x - 8 = 0 с помощью дискриминанта: D = b² - 4ac = 7² - 4*1*(-8) = 49 + 32 = 81.
  2. Корни: x1 = (-b + √D)/2a = (-7 + 9)/2 = 1 и x2 = (-b - √D)/2a = (-7 - 9)/2 = -8.
  3. Теперь мы знаем, что функция x² + 7x - 8 меняет знак в точках x1 = 1 и x2 = -8.
  4. Рассмотрим интервалы: (-∞, -8), (-8, 1), (1, +∞).
  5. Проверим знак на каждом интервале:
     • Для x < -8, например, x = -9: (-9)² + 7*(-9) - 8 = 81 - 63 - 8 = 10 > 0.
     • Для -8 < x < 1, например, x = 0: 0² + 7*0 - 8 = -8 < 0.
     • Для x > 1, например, x = 2: 2² + 7*2 - 8 = 4 + 14 - 8 = 10 > 0.
  6. Итак, неравенство выполняется на интервалах: (-∞, -8) и (1, +∞).
  7. Ответ: x < -8 или x > 1.

Уравнения:

• а) 3x - 2√x - 8 = 0
  1. Представим √x как y, тогда x = y². Подставим это в уравнение: 3y² - 2y - 8 = 0.
  2. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = (-2)² - 4*3*(-8) = 4 + 96 = 100.
  3. Корни: y1 = (2 + 10)/6 = 2 и y2 = (2 - 10)/6 = -4/3. Поскольку y = √x, y не может быть отрицательным, поэтому берем только y1 = 2.
  4. Теперь найдем x: √x = 2, следовательно, x = 2² = 4.
  5. Ответ: x = 4.
• б) √2x + √15 = x
  1. Переносим √2x в правую часть: x - √2x = √15.
  2. Факторизуем: x(1 - √2) = √15.
  3. Теперь x = √15 / (1 - √2). Умножим числитель и знаменатель на (1 + √2): x = √15(1 + √2) / (1 - 2) = -√15(1 + √2).
  4. Проверим, подходит ли это значение: подставим его обратно в уравнение.
  5. Так как x должен быть положительным, проверим знак: √15(1 + √2) будет положительным, а знак минус перед дробью делает x отрицательным.
  6. Таким образом, у этого уравнения нет действительных решений.
  7. Ответ: нет решений.