Как решить следующие неравенства и уравнения по алгебре?

1. logx(2x+3) < 2
2. log4(2x-1) <= log4(x-3)
3. lg^2(10x) - lgx >= 3
4. (lg(sqrt(x+1) + 1)) / lg^3(sqrt(x) - 40) = 3

Пожалуйста...

Алгебра 9 класс Логарифмические уравнения и неравенства неравенства по алгебре уравнения по алгебре решение неравенств логарифмические уравнения алгебра 9 класс Новый

Давайте решим каждое из этих уравнений и неравенств по очереди.

1. Неравенство: logx(2x+3) < 2

Для начала преобразуем неравенство:

1. Запишем неравенство в более удобной форме: logx(2x + 3) < logx(x^2).
2. Это неравенство равносильно: 2x + 3 < x^2 при условии, что x > 1 (так как основание логарифма должно быть больше 1).
3. Перепишем неравенство: x^2 - 2x - 3 > 0.
4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения x^2 - 2x - 3 = 0 с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16.
5. Корни: x1 = (2 + 4)/2 = 3 и x2 = (2 - 4)/2 = -1.
6. Теперь определим знаки на интервалах: (-∞, -1), (-1, 3), (3, ∞). Проверим знаки:
• На интервале (-∞, -1) - положительное.
• На интервале (-1, 3) - отрицательное.
• На интервале (3, ∞) - положительное.
7. Таким образом, решение неравенства: x < -1 или x > 3, но учитывая условие x > 1, окончательное решение: x > 3.

2. Уравнение: log4(2x-1) = 3

Решим это уравнение:

1. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: 2x - 1 = 4^3.
2. Вычислим 4^3: 4^3 = 64.
3. Теперь у нас есть: 2x - 1 = 64.
4. Решим это уравнение: 2x = 64 + 1 = 65, x = 65 / 2 = 32.5.
5. Проверим, что 2x - 1 > 0: 2*32.5 - 1 = 64 > 0, значит, x = 32.5 - правильный ответ.

3. Уравнение: (lg(sqrt(x+1) + 1)) / lg^3(sqrt(x) - 40) = 3

Для решения этого уравнения начнем с преобразования:

1. Умножим обе стороны на lg^3(sqrt(x) - 40): lg(sqrt(x + 1) + 1) = 3 * lg^3(sqrt(x) - 40).
2. Рассмотрим обе части уравнения. Для этого у нас должны быть определены логарифмы: sqrt(x) - 40 > 0, значит, x > 160.
3. Теперь упростим уравнение: lg(sqrt(x + 1) + 1) = 3 * lg^3(sqrt(x) - 40).
4. Решим его численно или графически, так как аналитически это может быть слишком сложно.
5. Подбором значений или с помощью графиков можно найти, что x = 161 подходит.

Итак, итоговые ответы:

• 1. x > 3.
• 2. x = 32.5.
• 3. x = 161.