Помогите, пожалуйста, решить логарифмические неравенства и уравнение. Если можно, с подробным объяснением, когда меняются знаки и откуда что берётся.

1. log 9 (x) - log 3 (x) = log 1/27 (5)
2. log 1/4 (3x-8) < -2
3. log x^3-9x^2+27x-27 (9-x) больше или равно 0

То, что в скобках, это логарифмируемые числа.

Алгебра 9 класс Логарифмические уравнения и неравенства логарифмические неравенства логарифмические уравнения решение логарифмов алгебра 9 класс изменение знаков логарифмов подробное объяснение логарифмов Новый

Давайте разберем каждое из ваших уравнений и неравенств по порядку. Мы будем использовать свойства логарифмов и внимательно следить за условиями, при которых логарифмы определены.

1. Уравнение: log₉(x) - log₃(x) = log_1/27(5)

Первым делом, преобразуем логарифмы к одной и той же основе. Мы знаем, что log₉(x) можно выразить через log₃(x):

• log₉(x) = log₃(x) / log₃(9) = log₃(x) / 2.

Теперь подставим это в уравнение:

log₃(x) / 2 - log₃(x) = log_1/27(5).

Упростим левую часть:

-log₃(x) / 2 = log_1/27(5).

Переносим log₃(x) / 2 вправо:

log₃(x) / 2 = -log_1/27(5).

Теперь найдем значение log_1/27(5). Поскольку 1/27 = 3^-3, то:

• log_1/27(5) = log₃(5) / -3.

Таким образом, у нас получается:

log₃(x) / 2 = -(-log₃(5) / 3).

Умножим обе стороны на 6 (чтобы избавиться от дробей):

3log₃(x) = 2log₃(5).

Теперь делим обе стороны на 3:

log₃(x) = (2/3)log₃(5).

Теперь найдем x:

x = 5^2/3 = корень из 25 = 5.

2. Неравенство: log_1/4(3x - 8) < -2

Сначала преобразуем неравенство:

log_1/4(3x - 8) < -2.

Это можно переписать в экспоненциальной форме:

3x - 8 > (1/4)^-2 = 16.

Теперь решим неравенство:

3x - 8 > 16.

Добавим 8 к обеим сторонам:

3x > 24.

Теперь делим на 3:

x > 8.

Не забываем, что 3x - 8 должно быть больше 0 для определения логарифма, то есть:

3x - 8 > 0 => x > 8/3.

Таким образом, учитывая оба условия, получаем x > 8.

3. Неравенство: log_{(x³ - 9x² + 27x - 27)}(9 - x) >= 0

Для этого неравенства нам нужно, чтобы логарифм был определен, то есть:

• 9 - x > 0 => x < 9.
• x³ - 9x² + 27x - 27 > 0.

Теперь найдем корни кубического уравнения x³ - 9x² + 27x - 27 = 0. Попробуем найти корни методом подбора и выясняем, что x = 3 является корнем. Разделим полином на (x - 3):

x³ - 9x² + 27x - 27 = (x - 3)(x² - 6x + 9) = (x - 3)(x - 3)².

Таким образом, у нас есть (x - 3)³ = 0, что указывает на корень x = 3 с кратностью 3.

Теперь определим знаки:

• Для x < 3: (x - 3)³ < 0.
• Для x = 3: (x - 3)³ = 0.
• Для 3 < x < 9: (x - 3)³ > 0.
• Для x = 9: (x - 3)³ > 0.

Таким образом, неравенство log_{(x³ - 9x² + 27x - 27)}(9 - x) >= 0 выполняется при:

x = 3 и 3 < x < 9.

Итак, итоговые ответы:

• Уравнение: x = 5.
• Неравенство 1: x > 8.
• Неравенство 2: x = 3 и 3 < x < 9.