Давайте разберемся с каждой задачей по очереди.

1. Решите: sin⁴2 + cos⁴2 - ? при условии, что cosª + sinª = ⅓.

Для начала используем известное тождество:

• sin²x + cos²x = 1.

Мы можем выразить sin⁴x и cos⁴x через sin²x и cos²x:

• sin⁴x = (sin²x)²
• cos⁴x = (cos²x)²

Теперь, используя формулу для суммы квадратов:

• sin⁴x + cos⁴x = (sin²x + cos²x)² - 2sin²x * cos²x.

Подставляем sin²x + cos²x = 1:

• sin⁴x + cos⁴x = 1 - 2sin²x * cos²x.

Теперь, чтобы найти sin²x * cos²x, воспользуемся условием cos²x + sin²x = (⅓)² = 1/9.

Теперь мы можем подставить полученные значения и найти sin⁴2 + cos⁴2.

2. Доказать: 1 - (sin + cos) / (sin * cos - ctg) = 2tg2.

Для начала вспомним, что tg = sin/cos и ctg = cos/sin. Подставим это в уравнение:

• 1 - (sin + cos) / (sin * cos - (cos/sin)) = 2tg2.

Упростим дробь в левой части:

• sin * cos - (cos/sin) = (sin² * cos - cos) / sin.

Теперь подставим это в уравнение и упростим. После этого, используя тригонометрические тождества, мы можем прийти к нужному результату.

3. Решите: tg² - sin + etg / (sin² - cos²)² = -½tg².

Сначала упростим левую часть уравнения:

• tg² = sin²/cos², etg = e * tg.

Теперь подставим tg в уравнение:

• (sin²/cos²) - sin + (e * sin/cos) / (sin² - cos²)² = -½(sin²/cos²).

После подстановки и упрощения, мы можем решить это уравнение, перемещая все термины на одну сторону и приводя подобные. Это упростит решение уравнения.

Если у вас есть дополнительные вопросы по каждой из задач или вы хотите, чтобы я объяснил что-то подробнее, пожалуйста, дайте знать!