Как решить уравнение arccos (3x^2-10x+2,5)=2пи/3 и уравнение 18arccos^2x=3пи arccos x +пи^2? Пожалуйста, объясните, я совсем не понимаю.

Алгебра 9 класс Уравнения с арккосинусом решение уравнения алгебра 9 класс arccos уравнение 1 уравнение 2 математическая помощь объяснение алгебры Новый

Давайте разберем оба уравнения по отдельности и шаг за шагом решим их.

1. Уравнение arccos(3x^2 - 10x + 2.5) = 2π/3

Первое, что нужно помнить, это то, что функция arccos принимает значения в диапазоне от 0 до π. Значение 2π/3 находится в этом диапазоне, поэтому мы можем продолжить решение.

Теперь, чтобы избавиться от функции arccos, мы применим косинус к обеим сторонам уравнения:

• cos(arccos(3x^2 - 10x + 2.5)) = cos(2π/3)

Слева мы получаем просто выражение 3x^2 - 10x + 2.5, а справа нам нужно найти значение cos(2π/3). Это значение равно -1/2. Таким образом, у нас получается:

• 3x^2 - 10x + 2.5 = -1/2

Теперь, чтобы решить это уравнение, сначала приведем его к стандартному виду, добавив 1/2 к обеим сторонам:

• 3x^2 - 10x + 2.5 + 1/2 = 0
• 3x^2 - 10x + 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64

Так как дискриминант положителен, у нашего уравнения есть два различных корня. Находим корни с помощью формулы:

• x1 = (10 + √64) / (2 * 3) = (10 + 8) / 6 = 3
• x2 = (10 - √64) / (2 * 3) = (10 - 8) / 6 = 1/3

Теперь проверим, подходят ли эти значения для функции arccos. Мы должны убедиться, что 3x^2 - 10x + 2.5 находится в диапазоне [-1, 1].

Для x = 3:

• 3(3^2) - 10(3) + 2.5 = 27 - 30 + 2.5 = -0.5 (входит в диапазон)

Для x = 1/3:

• 3(1/3)^2 - 10(1/3) + 2.5 = 3/9 - 10/3 + 2.5 = 0.333 - 3.333 + 2.5 = -0.5 (входит в диапазон)

Оба значения подходят, и мы можем записать ответ:

Ответ: x = 3 и x = 1/3.

2. Уравнение 18arccos^2(x) = 3πarccos(x) + π^2

Это уравнение также можно решить, введя замену. Пусть y = arccos(x). Тогда у нас получается:

• 18y^2 = 3πy + π^2

Переносим все в одну сторону:

• 18y^2 - 3πy - π^2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• a = 18, b = -3π, c = -π^2
• D = (-3π)^2 - 4 * 18 * (-π^2) = 9π^2 + 72π^2 = 81π^2

Теперь находим корни:

• y1 = (3π + √(81π^2)) / (2 * 18) = (3π + 9π) / 36 = 12π / 36 = π / 3
• y2 = (3π - √(81π^2)) / (2 * 18) = (3π - 9π) / 36 = -6π / 36 = -π / 6

Теперь возвращаемся к x, используя обратную функцию:

• arccos(x) = π/3: x = cos(π/3) = 1/2
• arccos(x) = -π/6: значение arccos не может быть отрицательным, поэтому это решение не подходит.

Ответ: x = 1/2.

Таким образом, мы разобрались с обоими уравнениями. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!