Как решить уравнение, введя новую переменную: (2x²+3)³ - 12(2x²+3) + 11 = 0?

Алгебра 9 класс Уравнения с введением новой переменной решение уравнения новая переменная алгебра 9 класс Квадратные уравнения методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение (2x²+3)³ - 12(2x²+3) + 11 = 0, мы можем ввести новую переменную. Давайте обозначим:

y = 2x² + 3

Теперь перепишем уравнение с использованием этой новой переменной:

y³ - 12y + 11 = 0

Теперь нам нужно решить кубическое уравнение y³ - 12y + 11 = 0. Для этого мы можем попробовать найти корни этого уравнения. Один из способов - использовать метод подбора. Давайте проверим, есть ли у этого уравнения целые корни, подставляя различные значения y:

• y = 1: 1³ - 12*1 + 11 = 1 - 12 + 11 = 0 (корень)
• y = 2: 2³ - 12*2 + 11 = 8 - 24 + 11 = -5 (не корень)
• y = 3: 3³ - 12*3 + 11 = 27 - 36 + 11 = 2 (не корень)
• y = 4: 4³ - 12*4 + 11 = 64 - 48 + 11 = 27 (не корень)
• y = -1: (-1)³ - 12*(-1) + 11 = -1 + 12 + 11 = 22 (не корень)
• y = -2: (-2)³ - 12*(-2) + 11 = -8 + 24 + 11 = 27 (не корень)

Мы нашли, что y = 1 является корнем уравнения. Теперь мы можем разделить многочлен y³ - 12y + 11 на (y - 1) с помощью деления многочленов или синтетического деления:

После деления мы получим:

y² + y - 11 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = 1, c = -11. Подставим значения:

y = (-1 ± √(1² - 41(-11))) / (2*1)

Теперь считаем дискриминант:

D = 1 + 44 = 45

Теперь подставим в формулу:

y = (-1 ± √45) / 2

Корень из 45 можно упростить:

√45 = √(9*5) = 3√5

Таким образом, получаем два значения для y:

y₁ = (-1 + 3√5) / 2 и y₂ = (-1 - 3√5) / 2

Теперь вернемся к нашей первоначальной переменной:

2x² + 3 = y

Это дает нам два уравнения:

2x² + 3 = 1 и 2x² + 3 = (-1 + 3√5) / 2 и 2x² + 3 = (-1 - 3√5) / 2

Решим первое уравнение:

1. 2x² + 3 = 1
2. 2x² = 1 - 3
3. 2x² = -2
4. x² = -1 (нет действительных решений)

Теперь решим второе уравнение:

1. 2x² + 3 = (-1 + 3√5) / 2
2. 2x² = (-1 + 3√5) / 2 - 3
3. 2x² = (-1 + 3√5 - 6) / 2
4. 2x² = (3√5 - 7) / 2
5. x² = (3√5 - 7) / 4
6. x = ±√((3√5 - 7) / 4)

Теперь решим третье уравнение:

1. 2x² + 3 = (-1 - 3√5) / 2
2. 2x² = (-1 - 3√5) / 2 - 3
3. 2x² = (-1 - 3√5 - 6) / 2
4. 2x² = (-7 - 3√5) / 2
5. x² = (-7 - 3√5) / 4 (это также не имеет действительных решений, так как под корнем отрицательное число)

Итак, у нас есть два действительных решения:

x = ±√((3√5 - 7) / 4)

Таким образом, мы нашли все решения исходного уравнения.