Какое наименьшее значение может иметь функция y=3cos²3x-sin²3x-3√3cos3x+4?

Алгебра 9 класс Минимумы и максимумы функций наименьшее значение функции алгебра 9 класс y=3cos²3x sin²3x 3√3cos3x решение задачи тригонометрические функции Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = 3cos²(3x) - sin²(3x) - 3√3cos(3x) + 4, начнем с упрощения выражения.

Мы знаем, что sin²(θ) можно выразить через cos²(θ) следующим образом:

• sin²(θ) = 1 - cos²(θ).

Подставим это в нашу функцию:

y = 3cos²(3x) - (1 - cos²(3x)) - 3√3cos(3x) + 4.

Теперь упрощаем это выражение:

• y = 3cos²(3x) - 1 + cos²(3x) - 3√3cos(3x) + 4.
• y = (3 + 1)cos²(3x) - 3√3cos(3x) + (4 - 1).
• y = 4cos²(3x) - 3√3cos(3x) + 3.

Теперь обозначим cos(3x) как t. Тогда функция y преобразуется в:

y = 4t² - 3√3t + 3, где t = cos(3x) и -1 ≤ t ≤ 1.

Теперь нам нужно найти наименьшее значение этой квадратичной функции на отрезке [-1, 1]. Для этого найдем вершину параболы, которая описывается этой функцией. Вершина квадратичной функции ax² + bx + c находится по формуле:

t_vertex = -b/(2a), где a = 4 и b = -3√3.

Подставим значения:

• t_vertex = -(-3√3)/(2 * 4) = 3√3/8.

Теперь проверим, попадает ли t_vertex в наш диапазон [-1, 1]. Поскольку 3√3 примерно равно 5.196, то 3√3/8 примерно равно 0.649. Это значение находится в пределах [-1, 1].

Теперь подставим t_vertex обратно в функцию y:

• y = 4(3√3/8)² - 3√3(3√3/8) + 3.
• y = 4(27/64) - 9/8 + 3.
• y = 108/64 - 72/64 + 192/64.
• y = (108 - 72 + 192)/64 = 228/64 = 57/16.

Теперь нам нужно проверить значения функции на границах интервала t = -1 и t = 1:

Для t = -1:

• y = 4(-1)² - 3√3(-1) + 3 = 4 + 3√3 + 3 = 7 + 3√3.

Для t = 1:

• y = 4(1)² - 3√3(1) + 3 = 4 - 3√3 + 3 = 7 - 3√3.

Теперь сравним все найденные значения:

• y = 57/16 (при t = 3√3/8),
• y = 7 + 3√3 (при t = -1),
• y = 7 - 3√3 (при t = 1).

Сравнив эти значения, мы можем заключить, что наименьшее значение функции y = 3cos²(3x) - sin²(3x) - 3√3cos(3x) + 4 достигается при t = 1:

Наименьшее значение функции равно 7 - 3√3.