Каковы все целые решения неравенства -2x² + 5x - 2 ≥ 0?

Алгебра 9 класс Неравенства с квадратными выражениями неравенство целые решения алгебра 9 класс -2x² + 5x - 2 математические задачи Новый

Чтобы решить неравенство -2x² + 5x - 2 ≥ 0, начнем с преобразования его в более удобный вид. Для этого мы можем умножить все части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

Шаг 1: Умножаем на -1:

2x² - 5x + 2 ≤ 0

Теперь нам нужно найти корни квадратного уравнения 2x² - 5x + 2 = 0, чтобы определить, где это выражение меняет знак.

Шаг 2: Используем дискриминант:

• Формула для дискриминанта: D = b² - 4ac.
• В нашем случае a = 2, b = -5, c = 2.
• Подставляем значения: D = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.

Так как дискриминант положителен (D > 0), у нас есть два различных корня.

Шаг 3: Находим корни:

• Формула для нахождения корней: x = (-b ± √D) / (2a).
• Подставляем значения: x₁ = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2.
• И x₂ = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2.

Корни уравнения: x₁ = 2 и x₂ = 1/2.

Шаг 4: Теперь мы можем определить интервалы, в которых выражение 2x² - 5x + 2 ≤ 0. У нас есть три интервала, образованные корнями:

• (-∞, 1/2)
• (1/2, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак выражения в каждом из этих интервалов:

• Для интервала (-∞, 1/2): возьмем, например, x = 0. Подставляем: 2(0)² - 5(0) + 2 = 2 (положительное).
• Для интервала (1/2, 2): возьмем x = 1. Подставляем: 2(1)² - 5(1) + 2 = 2 - 5 + 2 = -1 (отрицательное).
• Для интервала (2, +∞): возьмем x = 3. Подставляем: 2(3)² - 5(3) + 2 = 18 - 15 + 2 = 5 (положительное).

Таким образом, 2x² - 5x + 2 ≤ 0 на интервале (1/2, 2).

Шаг 5: Теперь определим целые решения неравенства:

• На интервале (1/2, 2) целое число - это 1.
• На границах: x = 1/2 не является целым числом, а x = 2 является решением, так как 2² - 5*2 + 2 = 0.

Ответ: Все целые решения неравенства -2x² + 5x - 2 ≥ 0: {1, 2}.