Для того чтобы уравнение $x^2-(a-2)x+ 2a$ имело два корня, разность которых равна 13, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия теоремы Виета:

• произведение корней равно свободному члену, то есть $x_1 \cdot x_2 = 2a$,
• сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, то есть $x_1 + x_2 = a - 2$.

По условию, разность корней равна 13. Обозначим один из корней как $x_1$, тогда второй корень будет равен $x_2 = x_1 + 13$. Подставим эти значения в первое условие теоремы Виета и получим:

$$(x_1)(x_1+13)=2a$$

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

$$x_1^2+13x_1-2a=0$$

Теперь подставим значение $x_1$ во второе условие теоремы Виета, получим:

$$a - 2 = (x_1) + (x_1 +13)$$

Подставим вместо $x_1$ его значение из первого уравнения:

$$a -2 = x_1 +x_1 +13$$

Решим полученное уравнение:

$$2x_1 = a-15$$

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 64$$

Корни уравнения равны:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2} = 5; -3$$

Тогда второй корень равен:

$$x_2 = -3 + 13 = 10$$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases}x_1 \cdot x_2=2a\x_1 + x_2 =a-2\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $a$:

$$a = \frac {x_1 \cdot x_2}{2}$$

И подставим это значение во второе уравнение системы:

$$x_1 + x_2 = \frac{(x_1 \cdot x_2)}{2}-2$$

После преобразований получаем квадратное уравнение относительно $x_1$:

$$x_1^2-2x_1(a-2)+(a-2)^2-4a=0$$

Преобразуем уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$$x_1^2+(a-2)^2-8a+4=0$$

Обозначим $(a-2)^2$ как $b$, а $8a$ как $c$, тогда получим стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 +bx + c = 0$. Решим его:

$$D=b^2-4ac=((a-2)^2)^2-4 \cdot 1 \cdot (8a)=4a^2-16a+4+32a=$$$$=(4a-4)^2$$

Дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два корня. Найдём их:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{a-2 \pm (4a-4)}{2}=\frac{(a-2)\pm(4a-4)}{2}$$

Так как по условию $a > 6 + \sqrt{201}$, то $4a -4 > 24 + 8\sqrt{5} > 4$. Тогда:

$$x_1=\frac{(a-2)-4a+4}{2}=\frac{-3a}{2},$$$$x_2=\frac{(a-2)+4a-4}{2}=a-1.$$

Таким образом, получаем систему уравнений:

$$\begin{cases}\frac{-3a}{2}\cdot(a-1)=2a\(a-1)+\frac{-3a}{2}=a-2\end{cases}$$

Первое уравнение системы можно сократить на $a$, получим:

$$-3(a-1)=2$$

Отсюда $a = 7$. Проверим, что при этом значении $a