Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y=1/4x² и прямая y=5x-17. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Алгебра 9 класс Пересечение графиков функций парабола y=1/4x² прямая y=5x-17 пересечение графиков координаты точек пересечения алгебра 9 класс Новый

Чтобы определить, пересекаются ли парабола y = (1/4)x² и прямая y = 5x - 17, мы можем приравнять их уравнения. Это позволит найти точки пересечения, если они существуют.

1. Приравняем уравнения:

(1/4)x² = 5x - 17

2. Приведем уравнение к стандартному виду, переместив все члены в одну сторону:

(1/4)x² - 5x + 17 = 0

3. Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

x² - 20x + 68 = 0

4. Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы выяснить, есть ли у него решения, мы воспользуемся дискриминантом D:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = -20, c = 68.

5. Подставим значения:

D = (-20)² - 4 * 1 * 68

D = 400 - 272

D = 128

6. Поскольку дискриминант D > 0, это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Теперь найдем координаты точек пересечения, решив квадратное уравнение:

7. Используем формулу для нахождения корней:

x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a

Подставим значения:

x₁,₂ = (20 ± √128) / 2

8. Упростим √128:

√128 = √(64 * 2) = 8√2

9. Теперь подставим это в формулу:

x₁,₂ = (20 ± 8√2) / 2

x₁ = 10 + 4√2

x₂ = 10 - 4√2

10. Теперь найдем соответствующие значения y для каждой из x-координат, подставив их в уравнение прямой y = 5x - 17:

Для x₁:

y₁ = 5(10 + 4√2) - 17 = 50 + 20√2 - 17 = 33 + 20√2

Для x₂:

y₂ = 5(10 - 4√2) - 17 = 50 - 20√2 - 17 = 33 - 20√2

Таким образом, координаты точек пересечения:

• (10 + 4√2; 33 + 20√2)
• (10 - 4√2; 33 - 20√2)

Итак, парабола и прямая пересекаются в двух точках, координаты которых мы только что нашли.