Помогите! Как можно доказать тождество 4b²c² - (b² + c² - a²)² = (a + b + c)(a - b + c)(b + c - a)?

Алгебра 9 класс Тождественные преобразования тождество алгебры доказательство тождества алгебра 9 класс задачи по алгебре формулы алгебры решение тождества алгебраические выражения пример тождества algebra identity proof Новый

Для доказательства тождества 4b²c² - (b² + c² - a²)² = (a + b + c)(a - b + c)(b + c - a) мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Раскроем левую часть тождества.

Начнем с левой части: 4b²c² - (b² + c² - a²)².

• Сначала раскроим квадрат: (b² + c² - a²)² = (b² + c² - a²)(b² + c² - a²).
• Используем формулу (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz, где x = b², y = c², z = -a²:
• Получаем: b⁴ + c⁴ + a⁴ - 2b²a² - 2c²a² - 2b²c².

Таким образом, левая часть становится:

4b²c² - (b⁴ + c⁴ + a⁴ - 2b²a² - 2c²a² - 2b²c²) = 4b²c² - b⁴ - c⁴ - a⁴ + 2b²a² + 2c²a² + 2b²c².

Упрощаем: 4b²c² + 2b²c² - b⁴ - c⁴ - a⁴ + 2b²a² + 2c²a² = 6b²c² - b⁴ - c⁴ - a⁴ + 2b²a² + 2c²a².

Шаг 2: Раскроем правую часть тождества.

Теперь раскроим правую часть: (a + b + c)(a - b + c)(b + c - a).

• Сначала умножим первые два множителя: (a + b + c)(a - b + c).
• Результат будет a² + ac - ab + ab + bc - b² + ac + c² - ac = a² + c² - b² + 2ac.
• Теперь умножим это выражение на (b + c - a):

(a² + c² - b² + 2ac)(b + c - a).

Раскроем скобки:

• a²(b + c - a) + c²(b + c - a) - b²(b + c - a) + 2ac(b + c - a).

Шаг 3: Упрощение.

Теперь упростим полученное выражение. Мы должны получить то же самое, что и в левой части:

• Соберем все подобные члены и упростим.

Шаг 4: Сравнение обеих частей.

После всех преобразований и упрощений, если обе части равны, то мы доказали тождество:

4b²c² - (b² + c² - a²)² = (a + b + c)(a - b + c)(b + c - a).

Таким образом, мы завершили доказательство тождества, следуя указанным шагам. Если у вас остались вопросы или нужно что-то уточнить, пожалуйста, дайте знать!