Помогите решить неравенство:

15^x - 9 * 5^x - 3^x + 9 ≤ 0

Алгебра 9 класс Неравенства с показательной функцией алгебра 9 класс неравенство решение неравенства 15^x 5^x 3^x математические задачи помощь по алгебре школьная математика Новый

Давайте решим неравенство:

15^x - 9 * 5^x - 3^x + 9 ≤ 0

Для начала, давайте перепишем 15^x в более удобной форме. Мы знаем, что 15 = 3 * 5, следовательно:

15^x = (3 * 5)^x = 3^x * 5^x

Теперь подставим это обратно в неравенство:

3^x * 5^x - 9 * 5^x - 3^x + 9 ≤ 0

Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Обратите внимание, что у нас есть общие множители:

3^x * 5^x - 3^x - 9 * 5^x + 9 ≤ 0

Теперь мы можем вынести общий множитель 3^x из первых двух слагаемых и 9 из последних двух:

3^x(5^x - 1) - 9(5^x - 1) ≤ 0

Теперь заметим, что у нас есть общий множитель (5^x - 1). Выразим это неравенство так:

(5^x - 1)(3^x - 9) ≤ 0

Теперь мы видим, что у нас произведение двух выражений. Для того чтобы произведение было меньше или равно нулю, одно из выражений должно быть нулём, а другое - положительным или отрицательным.

Рассмотрим каждое из этих выражений отдельно:

• 5^x - 1 = 0 дает нам x = 0.
• 3^x - 9 = 0 дает нам x = 2.

Теперь определим знаки каждого из произведений в интервалах, заданных этими корнями: (-∞, 0), (0, 2) и (2, +∞).

1. На интервале (-∞, 0):
5^x < 1 и 3^x < 9, значит произведение < 0.

2. На интервале (0, 2):
5^x > 1 и 3^x < 9, значит произведение > 0.

3. На интервале (2, +∞):
5^x > 1 и 3^x > 9, значит произведение > 0.

Теперь мы можем записать решение неравенства. Мы ищем такие x, которые делают произведение ≤ 0. Это происходит на интервале:

x ≤ 0 и x = 2.

Таким образом, окончательное решение неравенства:

x ≤ 0 или x = 2

Это значит, что любые значения x, которые меньше или равны 0, а также x = 2, удовлетворяют данному неравенству.