Давайте разберем данное неравенство шаг за шагом. У нас есть выражение:

-9t(t в квадрате) + 5t + (3t - 1)(1 + 3t) < 4

Первым делом упростим его. Начнем с раскрытия скобок в выражении (3t - 1)(1 + 3t):

1. Раскроем скобки: (3t - 1)(1 + 3t) = 3t * 1 + 3t * 3t - 1 * 1 - 1 * 3t
2. Получаем: 3t + 9t^2 - 1 - 3t
3. Упростим: 9t^2 - 1

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

-9t^3 + 5t + 9t^2 - 1 < 4

Далее, соберем подобные члены:

1. Запишем в порядке убывания степеней: -9t^3 + 9t^2 + 5t - 1

Теперь перенесем 4 на левую сторону, чтобы все выражение было меньше нуля:

-9t^3 + 9t^2 + 5t - 1 - 4 < 0

Упростим:

-9t^3 + 9t^2 + 5t - 5 < 0

Теперь нам нужно найти все натуральные числа t, которые удовлетворяют этому неравенству. Натуральные числа — это положительные целые числа (1, 2, 3 и так далее).

Для этого мы можем попробовать подставить различные значения t и посмотреть, когда выражение будет меньше нуля:

1. t = 1: -9(1)^3 + 9(1)^2 + 5(1) - 5 = -9 + 9 + 5 - 5 = 0 (не подходит, так как 0 не меньше 0)
2. t = 2: -9(2)^3 + 9(2)^2 + 5(2) - 5 = -72 + 36 + 10 - 5 = -31 (подходит, так как -31 меньше 0)
3. t = 3: -9(3)^3 + 9(3)^2 + 5(3) - 5 = -243 + 81 + 15 - 5 = -152 (подходит, так как -152 меньше 0)
4. t = 4: -9(4)^3 + 9(4)^2 + 5(4) - 5 = -576 + 144 + 20 - 5 = -417 (подходит, так как -417 меньше 0)

Таким образом, натуральные числа, которые удовлетворяют данному неравенству, это t = 2, 3, 4. Если продолжить проверку для больших значений t, выражение будет оставаться отрицательным, так что все натуральные числа больше 1 также подходят.