При каких значениях k оба корня уравнения x^2 - 2k + k^2 - 1 находятся в интервале (-1; 3)?

Алгебра 9 класс Неравенства и интервалы алгебра 9 класс уравнение корни интервал значение k Новый

Решим уравнение x² - 2k + k² - 1 = 0 и найдем условия для значений k, при которых оба корня находятся в интервале (-1; 3).

1. Сначала запишем уравнение в стандартной форме:

x² + (k² - 2k - 1) = 0.

2. Теперь найдем дискриминант уравнения:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = 0, c = k² - 2k - 1.

В нашем случае:

D = 0² - 4 * 1 * (k² - 2k - 1) = -4(k² - 2k - 1) = -4k² + 8k + 4.

3. Для того чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть больше нуля:

-4k² + 8k + 4 > 0.

4. Упростим неравенство:

• 4k² - 8k - 4 < 0.
• k² - 2k - 1 < 0.

5. Найдем корни уравнения k² - 2k - 1 = 0 с помощью формулы корней:

k = (2 ± √(2² - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1) = (2 ± √(4 + 4)) / 2 = (2 ± √8) / 2 = 1 ± √2.

6. Теперь определим промежутки, где k² - 2k - 1 < 0. Корни уравнения 1 - √2 и 1 + √2 делят числовую ось на три промежутка:

• (-∞, 1 - √2)
• (1 - √2, 1 + √2)
• (1 + √2, +∞)

7. Проверим знак функции на каждом промежутке:

• Для k < 1 - √2: функция положительна.
• Для 1 - √2 < k < 1 + √2: функция отрицательна.
• Для k > 1 + √2: функция положительна.

Таким образом, k² - 2k - 1 < 0 на промежутке (1 - √2, 1 + √2).

8. Теперь необходимо проверить, что оба корня находятся в интервале (-1; 3). Корни уравнения можно найти по формуле:

x₁, x₂ = (2k ± √D) / 2.

9. Условия для корней:

• x₁ > -1
• x₂ < 3.

10. Подставим x₁ и x₂ в эти условия и решим неравенства:

• (2k - √D) / 2 > -1
• (2k + √D) / 2 < 3.

11. Упрощаем:

• 2k - √D > -2 → 2k + 2 > √D → (2k + 2)² > D.
• 2k + √D < 6 → √D < 6 - 2k → D < (6 - 2k)².

12. Теперь нужно решить эти неравенства, подставляя в них выражение для D = -4k² + 8k + 4.

После всех этих шагов мы получим значения k, при которых оба корня уравнения находятся в интервале (-1; 3).

Таким образом, итоговое значение k, при котором оба корня находятся в интервале (-1; 3), будет определено в результате решения всех вышеперечисленных неравенств.