При каком значении параметра a неравенство ax² - (20 + 5a²)x + 100a > 0 не имеет решений?

Алгебра 9 класс Неравенства с параметром неравенство алгебра параметры решения ax² 9 класс дискриминант математический анализ функции уравнения Новый

Чтобы определить, при каком значении параметра a неравенство ax² - (20 + 5a²)x + 100a > 0 не имеет решений, нам нужно проанализировать его как квадратное неравенство. Квадратное уравнение имеет вид:

Ax² + Bx + C = 0,

где:

• A = a,
• B = -(20 + 5a²),
• C = 100a.

Для того чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы соответствующее квадратное уравнение не имело действительных корней. Это происходит, когда дискриминант D меньше нуля:

D = B² - 4AC < 0.

Теперь подставим значения A, B и C в формулу для дискриминанта:

D = (-(20 + 5a²))² - 4 * a * 100a.

Упрощаем выражение:

1. Сначала вычислим B²:
• (20 + 5a²)² = 400 + 200a² + 25a^4.
2. Теперь вычислим 4AC:
• 4 * a * 100a = 400a².
3. Теперь подставим в формулу дискриминанта:
• D = 400 + 200a² + 25a^4 - 400a².

Объединим подобные члены:

D = 25a^4 - 200a² + 400.

Теперь нам нужно найти, при каких значениях a дискриминант D меньше нуля:

25a^4 - 200a² + 400 < 0.

Для упрощения, сделаем замену: u = a². Тогда уравнение примет вид:

25u² - 200u + 400 < 0.

Теперь делим все на 25:

u² - 8u + 16 < 0.

Это квадратное уравнение можно разложить:

(u - 4)² < 0.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, (u - 4)² = 0 только когда u = 4. Это означает, что:

a² = 4,

что дает два значения:

a = 2 и a = -2.

Таким образом, неравенство ax² - (20 + 5a²)x + 100a > 0 не имеет решений при a = 2 и a = -2.