Для того чтобы найти значение параметра a, при котором прямая y = 3x + a касается параболы y = 4x - x^2, нам нужно решить систему уравнений, при этом у нас должно быть одно решение для x, так как прямая касается параболы в одной точке.

1. Сначала приравняем уравнения прямой и параболы:

3x + a = 4x - x^2

2. Переносим все члены в одну сторону:

x^2 - x + (a) = 0

3. Это квадратное уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю. Вспомним формулу для дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае:

• a = 1
• b = -1
• c = a

4. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * a = 1 - 4a

5. Установим условие для касания (D = 0):

1 - 4a = 0

6. Решим это уравнение:

4a = 1

a = 1/4

Теперь мы знаем, что прямая касается параболы при a = 1/4.

7. Теперь найдем координаты точки касания. Подставим значение a обратно в уравнение:

3x + 1/4 = 4x - x^2

Приведем к общему виду:

x^2 - x + (1/4) = 0

8. Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

Поскольку D = 0, то:

x = -(-1) / 2 = 1/2

9. Теперь подставим найденное значение x в уравнение прямой для нахождения y:

y = 3(1/2) + 1/4 = 3/2 + 1/4 = 6/4 + 1/4 = 7/4

Таким образом, координаты точки касания:

(1/2, 7/4)

В итоге, прямая y = 3x + 1/4 касается параболы y = 4x - x^2 при a = 1/4, а точка касания имеет координаты (1/2, 7/4).