Решите указанные неравенства и уравнение, используя дискриминант:

1. x^2 - 7x - 18 < 0
2. -6x^2 + 13x - 5 ≤ 0
3. x^2 - 6x - 7 = 0

Алгебра 9 класс Неравенства и уравнения второй степени алгебра 9 класс неравенства уравнение дискриминант решение неравенств решение уравнений Квадратные уравнения математические задачи Новый

Давайте решим указанные неравенства и уравнение поочередно, используя дискриминант.

1. Решение неравенства x^2 - 7x - 18 < 0

Сначала найдем корни соответствующего уравнения x^2 - 7x - 18 = 0 с помощью дискриминанта.

• Находим дискриминант D:
• D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 = 121.
• Корни уравнения находятся по формуле:
• x1,2 = (-b ± √D) / (2a).
• Подставляем значения:
• x1 = (7 + √121) / 2 = (7 + 11) / 2 = 18 / 2 = 9.
• x2 = (7 - √121) / 2 = (7 - 11) / 2 = -4 / 2 = -2.

Теперь у нас есть корни x1 = 9 и x2 = -2. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞, -2), (-2, 9) и (9, +∞).

Теперь проверим знак выражения x^2 - 7x - 18 на каждом из этих интервалов:

• Для интервала (-∞, -2), например, подставим x = -3:
• x^2 - 7x - 18 = 9 + 21 - 18 = 12 > 0.
• Для интервала (-2, 9), например, подставим x = 0:
• x^2 - 7x - 18 = 0 - 0 - 18 = -18 < 0.
• Для интервала (9, +∞), например, подставим x = 10:
• x^2 - 7x - 18 = 100 - 70 - 18 = 12 > 0.

Таким образом, неравенство x^2 - 7x - 18 < 0 выполняется на интервале (-2, 9).

Ответ: (-2, 9).

2. Решение неравенства -6x^2 + 13x - 5 ≤ 0

Сначала найдём корни уравнения -6x^2 + 13x - 5 = 0, используя дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (13)^2 - 4 * (-6) * (-5) = 169 - 120 = 49.
• Теперь находим корни:
• x1,2 = (-b ± √D) / (2a).
• x1 = (13 + √49) / (2 * -6) = (13 + 7) / -12 = 20 / -12 = -5/3.
• x2 = (13 - √49) / (2 * -6) = (13 - 7) / -12 = 6 / -12 = -1/2.

Теперь у нас есть корни x1 = -5/3 и x2 = -1/2. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞, -5/3), (-5/3, -1/2) и (-1/2, +∞).

Проверим знак выражения -6x^2 + 13x - 5 на каждом из интервалов:

• Для интервала (-∞, -5/3), например, подставим x = -2:
• -6(-2)^2 + 13(-2) - 5 = -24 - 26 - 5 = -55 < 0.
• Для интервала (-5/3, -1/2), например, подставим x = -1:
• -6(-1)^2 + 13(-1) - 5 = -6 - 13 - 5 = -24 < 0.
• Для интервала (-1/2, +∞), например, подставим x = 0:
• -6(0)^2 + 13(0) - 5 = -5 < 0.

Таким образом, неравенство -6x^2 + 13x - 5 ≤ 0 выполняется на интервале (-∞, -5/3] ∪ [-1/2, +∞).

Ответ: (-∞, -5/3] ∪ [-1/2, +∞).

3. Решение уравнения x^2 - 6x - 7 = 0

Снова найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64.
• Теперь находим корни:
• x1,2 = (-b ± √D) / (2a).
• x1 = (6 + √64) / 2 = (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7.
• x2 = (6 - √64) / 2 = (6 - 8) / 2 = -2 / 2 = -1.

Таким образом, корни уравнения x^2 - 6x - 7 = 0 равны x1 = 7 и x2 = -1.

Ответ: x = 7 и x = -1.