Сколько рациональных членов содержит разложение (√3+√7)^100 по формуле бинома Ньютона?

Алгебра 9 класс Бином Ньютона бином Ньютона рациональные члены разложение алгебра 9 класс √3 √7 количество членов формула бинома Новый

Чтобы определить, сколько рациональных членов содержит разложение (√3 + √7)^100 по формуле бинома Ньютона, давайте сначала вспомним, как выглядит эта формула:

Разложение (a + b)^n по формуле бинома Ньютона имеет вид:

(a + b)^n = С(n, 0) * a^n * b^0 + С(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + С(n, n) * a^0 * b^n,

где С(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!).

В нашем случае a = √3, b = √7 и n = 100. Таким образом, разложение будет выглядеть так:

(√3 + √7)^100 = С(100, 0) * (√3)^100 * (√7)^0 + С(100, 1) * (√3)^99 * (√7)^1 + ... + С(100, 100) * (√3)^0 * (√7)^100.

Каждый член разложения имеет вид:

С(100, k) * (√3)^(100-k) * (√7)^k,

где k принимает значения от 0 до 100.

Теперь давайте проанализируем, когда этот член будет рациональным. Член будет рациональным, если произведение (√3)^(100-k) * (√7)^k является рациональным числом. Для этого необходимо, чтобы степени под корнями были четными.

Степень (√3)^(100-k) будет рациональной, если 100-k четное, то есть k должно быть четным. Аналогично, степень (√7)^k будет рациональной, если k четное.

Таким образом, для того чтобы и (√3)^(100-k), и (√7)^k были рациональными, k должно быть четным числом.

Теперь определим, сколько четных значений может принимать k в диапазоне от 0 до 100:

• Минимальное четное значение: 0
• Максимальное четное значение: 100
• Четные числа от 0 до 100: 0, 2, 4, ..., 100

Это арифметическая прогрессия, где первый член равен 0, последний член равен 100, а разность равна 2.

Теперь найдем количество членов этой прогрессии:

Количество четных чисел можно найти по формуле:

Количество четных чисел = (последний член - первый член) / разность + 1.

Подставляем значения:

Количество четных чисел = (100 - 0) / 2 + 1 = 50 + 1 = 51.

Таким образом, разложение (√3 + √7)^100 содержит 51 рациональный член.