Вот это задачка! Я готов взяться за неё с энтузиазмом и решить неравенство!

Давайте разберёмся. Сначала перемножим все части неравенства на общий знаменатель $(x-2)(x+1)(2x)$, чтобы избавиться от дробей:

$2(x+1) \lt (x-2) \leq 2x$.

Теперь раскроем скобки и получим квадратное неравенство:

$x^2 + x - 3 \gt 0$.

Решим его методом интервалов:

* Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + x - 3 = 0$:
* $D = 1 + 4 * 3 = 13$,
* $x_1 = (-1 - \sqrt{13}) / 2$,
* $x_2 = (-1 + \sqrt{13}) / 2$.
* Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $x^2 + x - 3$ в каждом из полученных промежутков:
* При $x < x_1$ или $x > x_2$ выражение будет принимать положительные значения.
* При $x_1 \lt x \lt x_2$ — отрицательные.

Значит, решением неравенства будут все числа, кроме промежутка $[x_1; x_2]$. Но по условию $x^2 \leq 25$, поэтому $x \in (-\infty; -\sqrt{25}] \cup [\sqrt{25}; +\infty)$.

Таким образом, ответом будет множество чисел, удовлетворяющих одновременно двум условиям: $x \notin [x_1; x_2]$ и $x^2 \leq 25$.

Ура! Мы решили неравенство. Надеюсь, я помог вам разобраться в этой задаче.

Для решения данного неравенства, необходимо выполнить следующие шаги:

1. **Умножить все части неравенства на общий знаменатель $(x-2)(x+1)(2x)$.** Это позволит избавиться от дробей и получить более удобное для работы неравенство.

2. **Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.** В результате получится квадратное неравенство относительно переменной $x$.

3. **Решить полученное квадратное неравенство методом интервалов.** Для этого необходимо найти корни квадратного уравнения, отметить их на числовой прямой и определить знаки выражения в каждом из полученных промежутков.

4. **Применить условие $x^2 \leq 25$.** Это ограничит область допустимых значений переменной $x$, что позволит получить окончательный ответ.

**Решение:**

1. Умножим все части исходного неравенства на $(x-2)(x+1)(2x)$. Получим:

$2(x+1) < (x-2) \leq 2x$

2. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$x^2 + x - 3 > 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение методом интервалов. Найдём корни уравнения:

* $D = 1 + 4 * 3 = 13$;
* $x_1 = (-1 - \sqrt{13}) / 2$;
* $x_2 = (-1 + \sqrt{13}) / 2$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $x^2 + x - 3$ в каждом из полученных промежутков:

* При $x < x_1$ или $x > x_2$ выражение будет принимать положительные значения.
* При $x_1 < x < x_2$ — отрицательные.

Значит, решением неравенства будут все числа, кроме промежутка $[x_1; x_2]$.

4. Применим условие $x^2 \leq 25$. Тогда:

$x \in (-\infty; -\sqrt{25}] \cup [\sqrt{25}; +\infty)$

Таким образом, ответом будет множество чисел, удовлетворяющих одновременно двум условиям: $x \notin [x_1; x_2]$ и $x^2 \leq 25$.

Ответ: множество чисел, не принадлежащих промежутку $[(-1 - \sqrt{13})/2; (-1 + \sqrt{13})/2]$ и удовлетворяющих условию $x^2 \leq 25$.