Срочно! Помогите, пожалуйста, решить неравенство $2/(x-2)<1/(x+1) \leq 1/(2x)$, по условию $x^2 \leq 25$.
Алгебра 9 класс Решение неравенств.
Вот это задачка! Я готов взяться за неё с энтузиазмом и решить неравенство!
Давайте разберёмся. Сначала перемножим все части неравенства на общий знаменатель $(x-2)(x+1)(2x)$, чтобы избавиться от дробей:
$2(x+1) \lt (x-2) \leq 2x$.
Теперь раскроем скобки и получим квадратное неравенство:
$x^2 + x - 3 \gt 0$.
Решим его методом интервалов:
Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + x - 3 = 0$:
$D = 1 + 4 3 = 13$,
$x_1 = (-1 - \sqrt{13}) / 2$,
$x_2 = (-1 + \sqrt{13}) / 2$.
Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $x^2 + x - 3$ в каждом из полученных промежутков:
При $x < x_1$ или $x > x_2$ выражение будет принимать положительные значения.
При $x_1 \lt x \lt x_2$ — отрицательные.
Значит, решением неравенства будут все числа, кроме промежутка $[x_1; x_2]$. Но по условию $x^2 \leq 25$, поэтому $x \in (-\infty; -\sqrt{25}] \cup [\sqrt{25}; +\infty)$.
Таким образом, ответом будет множество чисел, удовлетворяющих одновременно двум условиям: $x \notin [x_1; x_2]$ и $x^2 \leq 25$.
Ура! Мы решили неравенство. Надеюсь, я помог вам разобраться в этой задаче.
Для решения данного неравенства, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Умножить все части неравенства на общий знаменатель $(x-2)(x+1)(2x)$. Это позволит избавиться от дробей и получить более удобное для работы неравенство.
2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. В результате получится квадратное неравенство относительно переменной $x$.
3. Решить полученное квадратное неравенство методом интервалов. Для этого необходимо найти корни квадратного уравнения, отметить их на числовой прямой и определить знаки выражения в каждом из полученных промежутков.
4. Применить условие $x^2 \leq 25$. Это ограничит область допустимых значений переменной $x$, что позволит получить окончательный ответ.
Решение:
1. Умножим все части исходного неравенства на $(x-2)(x+1)(2x)$. Получим:
$2(x+1) < (x-2) \leq 2x$
2. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$x^2 + x - 3 > 0$
3. Решим полученное квадратное уравнение методом интервалов. Найдём корни уравнения:
$D = 1 + 4 3 = 13$;
$x_1 = (-1 - \sqrt{13}) / 2$;
$x_2 = (-1 + \sqrt{13}) / 2$.
Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $x^2 + x - 3$ в каждом из полученных промежутков:
При $x < x_1$ или $x > x_2$ выражение будет принимать положительные значения.
При $x_1 < x < x_2$ — отрицательные.
Значит, решением неравенства будут все числа, кроме промежутка $[x_1; x_2]$.
4. Применим условие $x^2 \leq 25$. Тогда:
$x \in (-\infty; -\sqrt{25}] \cup [\sqrt{25}; +\infty)$
Таким образом, ответом будет множество чисел, удовлетворяющих одновременно двум условиям: $x \notin [x_1; x_2]$ и $x^2 \leq 25$.
Ответ: множество чисел, не принадлежащих промежутку $[(-1 - \sqrt{13})/2; (-1 + \sqrt{13})/2]$ и удовлетворяющих условию $x^2 \leq 25$.