СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАНИЕ!!! Как вычислить площади фигур, ограниченных графиками следующих функций?

1. А) y=1/2x^2+2x+4 и x-y+8=0
2. Б) x^2=8y и x-2y+8=0

ПОЖАЛУЙСТА С РЕШЕНИЕМ ОЧЕНЬ БУДУ БЛАГОДАРЕН

Алгебра 9 класс Площадь фигур, ограниченных графиками функций алгебра 9 класс вычисление площадей фигур функции и графики задачи по алгебре решение задач по алгебре Новый

Давайте по порядку решим обе задачи, чтобы вычислить площади фигур, ограниченных графиками заданных функций.

Задача А:

Нам даны функции:

• y = 1/2x^2 + 2x + 4 (парабола)
• x - y + 8 = 0 (прямая)

Сначала преобразуем уравнение прямой:

• x - y + 8 = 0
• y = x + 8

Теперь найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем уравнения:

• 1/2x^2 + 2x + 4 = x + 8

Приведем уравнение к стандартному виду:

• 1/2x^2 + 2x - x + 4 - 8 = 0
• 1/2x^2 + x - 4 = 0

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

• x^2 + 2x - 8 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36

Корни уравнения:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / 2a = (-2 + 6) / 2 = 2
• x2 = (-b - sqrt(D)) / 2a = (-2 - 6) / 2 = -4

Теперь найдем соответствующие значения y для этих x:

• y1 = 1/2(2)^2 + 2(2) + 4 = 2 + 4 + 4 = 10
• y2 = 1/2(-4)^2 + 2(-4) + 4 = 8 - 8 + 4 = 4

Таким образом, точки пересечения: (2, 10) и (-4, 4).

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной графиками:

Площадь можно найти по формуле:

• Площадь = интеграл от x1 до x2 (верхняя функция - нижняя функция) dx

В нашем случае верхней функцией является парабола, а нижней - прямая:

• Площадь = интеграл от -4 до 2 (1/2x^2 + 2x + 4 - (x + 8)) dx
• = интеграл от -4 до 2 (1/2x^2 + 2x + 4 - x - 8) dx
• = интеграл от -4 до 2 (1/2x^2 + x - 4) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

• Интеграл (1/2x^2 + x - 4) dx = (1/6)x^3 + (1/2)x^2 - 4x

Теперь подставим пределы от -4 до 2:

• =(1/6)(2)^3 + (1/2)(2)^2 - 4(2) - [(1/6)(-4)^3 + (1/2)(-4)^2 - 4(-4)]
• = (1/6)(8) + (1/2)(4) - 8 - [(-64/6) + 8 + 16]
• = 4/3 + 2 - 8 - [-64/6 + 24/6]
• = 4/3 + 2 - 8 + 40/6
• = 4/3 + 2 - 8 + 20/3
• = (4 + 20)/3 - 6 = 24/3 - 6 = 8 - 6 = 2

Итак, площадь фигуры в задаче А равна 2.

Задача Б:

Теперь перейдем ко второй задаче. Нам даны функции:

• x^2 = 8y (парабола)
• x - 2y + 8 = 0 (прямая)

Сначала преобразуем уравнение прямой:

• x - 2y + 8 = 0
• 2y = x + 8
• y = (1/2)x + 4

Теперь найдем точки пересечения:

• x^2 = 8((1/2)x + 4)

Упростим уравнение:

• x^2 = 4x + 32
• x^2 - 4x - 32 = 0

Решим это квадратное уравнение:

• D = (-4)^2 - 4*1*(-32) = 16 + 128 = 144

Корни уравнения:

• x1 = (4 + 12) / 2 = 8
• x2 = (4 - 12) / 2 = -4

Теперь найдем соответствующие значения y:

• y1 = (1/2)(8) + 4 = 4 + 4 = 8
• y2 = (1/2)(-4) + 4 = -2 + 4 = 2

Таким образом, точки пересечения: (8, 8) и (-4, 2).

Теперь вычислим площадь фигуры:

• Площадь = интеграл от -4 до 8 (верхняя функция - нижняя функция) dx

В нашем случае верхней функцией является прямая, а нижней - парабола:

• Площадь = интеграл от -4 до 8 (((1/2)x + 4) - (1/8)x^2) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

• Интеграл ((1/2)x + 4 - (1/8)x^2) dx = (1/4)x^2 + 4x - (1/24)x^3

Теперь подставим пределы от -4 до 8:

• =(1/4)(8)^2 + 4(8) - (1/24)(8)^3 - [(1/4)(-4)^2 + 4(-4) - (1/24)(-4)^3]
• = (1/4)(64) + 32 - (1/24)(512) - [(1/4)(16) - 16 + (1/24)(64)]
• = 16 + 32 - (512/24) - [4 - 16 + (64/24)]
• = 48 - (512/24) + 12 - 16
• = 48 - 21.33 + 12 - 16 = 22.67

Итак, площадь фигуры в задаче Б равна примерно 22.67.

Надеюсь, это поможет вам разобраться с задачами!