Вопрос: Как найти площадь области, заключенной между графиками функций y=4x-x^2 и y=4-x?

Алгебра 9 класс Площадь фигур, ограниченных графиками функций площадь области графики функций y=4x-x^2 y=4-x алгебра 9 класс интегралы нахождение площади пересечение графиков Новый

Чтобы найти площадь области, заключенной между графиками функций y=4x-x^2 и y=4-x, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков.

Для этого приравняем функции друг к другу:

4x - x^2 = 4 - x

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 - 5x + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней:

x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -5, c = 4.

• Вычисляем дискриминант: D = (-5)² - 4*1*4 = 25 - 16 = 9.
• Теперь находим корни: x1 = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4, и x2 = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1.

Шаг 2: Найдем площадь между графиками.

Теперь мы знаем, что графики пересекаются в точках x = 1 и x = 4. Чтобы найти площадь, заключенную между графиками, мы используем интегралы.

Площадь S можно выразить как:

S = ∫(f(x) - g(x)) dx, где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция на отрезке [1, 4].

В нашем случае:

• f(x) = 4x - x^2 (это парабола, которая выше прямой в данной области),
• g(x) = 4 - x.

Теперь вычислим интеграл:

S = ∫[1, 4] ((4x - x^2) - (4 - x)) dx = ∫[1, 4] (4x - x^2 - 4 + x) dx = ∫[1, 4] (-x^2 + 5x - 4) dx.

Шаг 3: Вычислим интеграл.

Теперь найдем неопределенный интеграл:

∫(-x^2 + 5x - 4) dx = -x^3/3 + (5x^2)/2 - 4x.

Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 4:

S = [-x^3/3 + (5x^2)/2 - 4x] от 1 до 4.

Сначала подставим x = 4:

S(4) = -4^3/3 + (5*4^2)/2 - 4*4 = -64/3 + 40 - 16 = -64/3 + 24/3 = -40/3.

Теперь подставим x = 1:

S(1) = -1^3/3 + (5*1^2)/2 - 4*1 = -1/3 + 5/2 - 4 = -1/3 + 15/6 - 24/6 = -1/3 - 9/6 = -1/3 - 3/2 = -1/3 - 9/6 = -20/6 = -10/3.

Теперь найдем площадь:

S = S(4) - S(1) = (-40/3) - (-10/3) = -40/3 + 10/3 = -30/3 = -10.

Площадь области между графиками равна 10.

Ответ: Площадь области, заключенной между графиками функций, равна 10.