Похожие вопросы
2025-09-18 15:51:24
Упростите выражение (sin(16°) / (2 cos²(4°) - 2 sin²(4°)))² + 4 sin²(41°) cos²(41°).
- -√3/2;
- -1;
- √3/2;
- √2/2;
- √2/2.
Алгебра 9 класс Тригонометрические выражения Упрощение выражения алгебра 9 класс тригонометрические функции sin cos математические задачи решение уравнений угол 16 градусов угол 4 градусов угол 41 градусов квадрат синуса квадрат косинуса Новый
2025-09-18 15:52:04
Чтобы упростить выражение (sin(16°) / (2 cos²(4°) - 2 sin²(4°)))² + 4 sin²(41°) cos²(41°), начнем с упрощения каждой части по отдельности.
Шаг 1: Упрощение знаменателяСначала упростим знаменатель 2 cos²(4°) - 2 sin²(4°). Мы можем вынести 2 за скобки:
- 2 (cos²(4°) - sin²(4°))
Теперь используем формулу для разности квадратов: cos²(x) - sin²(x) = cos(2x). В нашем случае x = 4°, поэтому:
- cos²(4°) - sin²(4°) = cos(8°)
Таким образом, знаменатель становится:
- 2 cos(8°)
Теперь подставим это в исходное выражение:
- (sin(16°) / (2 cos(8°)))²
Теперь у нас есть:
- (sin(16°) / (2 cos(8°)))² = (sin(16°)² / (4 cos²(8°)))
Теперь рассмотрим вторую часть выражения: 4 sin²(41°) cos²(41°). Мы можем использовать формулу:
- sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Таким образом, 4 sin²(41°) cos²(41°) можно записать как:
- 4 * (1/4) * sin²(82°) = sin²(82°)
Теперь у нас есть следующее выражение:
- (sin(16°)² / (4 cos²(8°))) + sin²(82°)
Заметим, что sin(82°) = cos(8°) (так как 82° = 90° - 8°). Поэтому:
- sin²(82°) = cos²(8°)
Теперь подставим это обратно в выражение:
- (sin(16°)² / (4 cos²(8°))) + cos²(8°)
Теперь мы можем привести к общему знаменателю:
- sin(16°)² / (4 cos²(8°)) + 4 cos⁴(8°) / (4 cos²(8°)) = (sin(16°)² + 4 cos⁴(8°)) / (4 cos²(8°))
Теперь нам нужно вычислить числитель. Для этого можно использовать значение sin(16°) и cos(8°), но это может быть сложно без калькулятора. Однако, если мы подставим значения и упростим, мы увидим, что:
- sin(16°) ≈ 0.276, cos(8°) ≈ 0.990
Тогда:
- sin(16°)² ≈ 0.076, cos²(8°) ≈ 0.980
Подставив, мы получим:
- (0.076 + 4 * (0.980)²) / (4 * 0.980) ≈ 0.5
Таким образом, окончательный результат выражения будет равен √2/2.