В геометрической прогрессии {un} выполняются равенства u1 + u5 = 51 и u2 + u6 = 102. Какое значение n делает равенство Sn = 3069 верным?

Алгебра 9 класс Геометрические прогрессии Геометрическая прогрессия равенства значение N Sn алгебра 9 класс задачи по алгебре решение уравнений Новый

Для начала, давайте вспомним, что в геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на общее отношение прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как u1 = a, а общее отношение как q. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

• u1 = a
• u2 = aq
• u5 = aq^4
• u6 = aq^5

Теперь подставим известные равенства:

1. u1 + u5 = 51, что дает: a + aq^4 = 51.
2. u2 + u6 = 102, что дает: aq + aq^5 = 102.

Теперь упростим оба уравнения:

• Первое уравнение можно вынести a: a(1 + q^4) = 51.
• Во втором уравнении также вынесем a: a(q + q^5) = 102.

Теперь выразим a из первого уравнения:

a = 51 / (1 + q^4).

Подставим это значение a во второе уравнение:

(51 / (1 + q^4))(q + q^5) = 102.

Умножим обе стороны на (1 + q^4):

51(q + q^5) = 102(1 + q^4).

Теперь упростим это уравнение:

51q + 51q^5 = 102 + 102q^4.

Переносим все в одну сторону:

51q^5 - 102q^4 + 51q - 102 = 0.

Теперь у нас есть многочлен, который можно решить. Попробуем найти корни, подставив различные значения q.

После подбора значений мы можем найти, что q = 2 является корнем. Подставим q = 2 обратно, чтобы найти a:

a = 51 / (1 + 2^4) = 51 / (1 + 16) = 51 / 17 = 3.

Теперь мы знаем, что первый член прогрессии a = 3, а общее отношение q = 2. Теперь мы можем записать n-ый член прогрессии:

un = a * q^(n-1) = 3 * 2^(n-1).

Теперь найдем сумму первых n членов Sn геометрической прогрессии:

Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q) = 3 * (1 - 2^n) / (1 - 2) = 3 * (1 - 2^n) / -1 = 3 * (2^n - 1).

Теперь приравняем Sn к 3069:

3 * (2^n - 1) = 3069.

Разделим обе стороны на 3:

2^n - 1 = 1023.

Теперь добавим 1:

2^n = 1024.

Теперь найдем n. Мы знаем, что 1024 = 2^10, следовательно:

n = 10.

Таким образом, значение n, которое делает равенство Sn = 3069 верным, равно 10.