Чтобы вычислить определенный интеграл от функции (3x+2)³ по переменной x на интервале от 0 до 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала мы найдем неопределенный интеграл функции (3x+2)³. Для этого мы можем использовать метод подстановки.

• Обозначим u = 3x + 2. Тогда производная u по x равна du/dx = 3, или du = 3dx, что означает dx = du/3.
• Теперь нам нужно выразить x через u: x = (u - 2)/3.

Теперь подставим u в интеграл:

Итак, интеграл становится:

∫(3x + 2)³ dx = ∫u³ * (du/3) = (1/3)∫u³ du.

Теперь мы можем вычислить интеграл u³:

(1/3) * (u⁴/4) + C = (1/12)u⁴ + C.

Теперь подставим обратно u = 3x + 2:

(1/12)(3x + 2)⁴ + C.

Теперь нам нужно найти определенный интеграл на интервале от 0 до 1:

∫ от 0 до 1 (3x + 2)³ dx = [(1/12)(3x + 2)⁴] от 0 до 1.

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

1. Сначала подставим верхний предел (x = 1):

(1/12)(3*1 + 2)⁴ = (1/12)(5)⁴ = (1/12)(625) = 625/12.

2. Теперь подставим нижний предел (x = 0):

(1/12)(3*0 + 2)⁴ = (1/12)(2)⁴ = (1/12)(16) = 16/12 = 4/3.

Теперь вычтем нижний предел из верхнего:

625/12 - 4/3.

Чтобы вычесть дроби, приведем 4/3 к общему знаменателю 12:

4/3 = 16/12.

Теперь вычтем:

625/12 - 16/12 = (625 - 16)/12 = 609/12.

Таким образом, окончательный ответ:

∫ от 0 до 1 (3x + 2)³ dx = 609/12.

Это и есть значение определенного интеграла от функции (3x + 2)³ на заданном интервале.