Для решения интеграла ∫(x² + 1)/(x + 1) dx мы можем начать с упрощения подынтегрального выражения. Для этого выполним деление многочленов.

1. **Делим (x² + 1) на (x + 1):**

• Первый шаг деления: x² делим на x, получаем x.
• Умножаем (x + 1) на x: (x + 1) * x = x² + x.
• Вычитаем из (x² + 1) полученное: (x² + 1) - (x² + x) = 1 - x.
• Теперь у нас есть: (x² + 1)/(x + 1) = x + (1 - x)/(x + 1).

Таким образом, мы можем переписать интеграл:

∫(x² + 1)/(x + 1) dx = ∫(x + (1 - x)/(x + 1)) dx.

2. **Разделим интеграл на два отдельных интеграла:**

∫(x + (1 - x)/(x + 1)) dx = ∫x dx + ∫(1 - x)/(x + 1) dx.

3. **Решим первый интеграл:**

∫x dx = (1/2)x² + C₁, где C₁ - произвольная константа.

4. **Теперь решим второй интеграл:**

∫(1 - x)/(x + 1) dx = ∫(1/(x + 1) - x/(x + 1)) dx.

5. **Разделим интеграл на два отдельных:**

∫(1/(x + 1) - x/(x + 1)) dx = ∫(1/(x + 1)) dx - ∫(x/(x + 1)) dx.

6. **Решим первый из них:**

∫(1/(x + 1)) dx = ln|x + 1| + C₂, где C₂ - произвольная константа.

7. **Решим второй интеграл:**

Для ∫(x/(x + 1)) dx мы можем использовать замену: x/(x + 1) = 1 - 1/(x + 1).

Таким образом, ∫(x/(x + 1)) dx = ∫(1 - 1/(x + 1)) dx = ∫1 dx - ∫(1/(x + 1)) dx.

8. **Теперь решим оба интеграла:**

• ∫1 dx = x + C₃, где C₃ - произвольная константа.
• ∫(1/(x + 1)) dx = ln|x + 1| + C₄, где C₄ - произвольная константа.

Таким образом, ∫(x/(x + 1)) dx = x - ln|x + 1| + C₅, где C₅ - произвольная константа.

9. **Теперь подставим все обратно:**

∫(1 - x)/(x + 1) dx = ln|x + 1| - (x - ln|x + 1|) = ln|x + 1| - x + ln|x + 1| = 2ln|x + 1| - x.

10. **Теперь соберем все части вместе:**

∫(x² + 1)/(x + 1) dx = (1/2)x² + 2ln|x + 1| - x + C, где C = C₁ + C₂ + C₃ + C₄ + C₅ - произвольная константа.

Ответ: ∫(x² + 1)/(x + 1) dx = (1/2)x² - x + 2ln|x + 1| + C.