Вычислите предел:

lim (x → 0) (x^4 + 3x^3 - 2x^2) / (x^5 + x^4 + x^5)

Алгебра Колледж Пределы функций предел алгебра вычислить предел предел при x к нулю предел дроби Новый

Чтобы вычислить предел:

lim (x → 0) (x^4 + 3x^3 - 2x^2) / (x^5 + x^4 + x^5),

нам нужно сначала упростить выражение.

1. Приведем в порядок знаменатель:

• Объединим подобные члены в знаменателе:
• x^5 + x^4 + x^5 = 2x^5 + x^4.

Теперь предел можно записать так:

lim (x → 0) (x^4 + 3x^3 - 2x^2) / (2x^5 + x^4).

2. Теперь подставим x = 0 в числитель и знаменатель:

• Числитель: 0^4 + 3*0^3 - 2*0^2 = 0.
• Знаменатель: 2*0^5 + 0^4 = 0.

Мы получили неопределенность 0/0. Это значит, что нам нужно использовать другие методы для нахождения предела, например, факторизацию или правило Лопиталя.

3. Попробуем факторизовать числитель:

• Числитель: x^4 + 3x^3 - 2x^2 = x^2(x^2 + 3x - 2).

Теперь мы можем переписать предел:

lim (x → 0) x^2(x^2 + 3x - 2) / (2x^5 + x^4).

4. Упростим предел, вынеся x^2 из числителя и знаменателя:

lim (x → 0) (x^2 + 3x - 2) / (2x^3 + 1).

5. Теперь подставим x = 0 снова:

• Числитель: 0^2 + 3*0 - 2 = -2.
• Знаменатель: 2*0^3 + 1 = 1.

Таким образом, предел равен:

lim (x → 0) (x^2 + 3x - 2) / (2x^3 + 1) = -2 / 1 = -2.

Итак, окончательный ответ:

Предел равен -2.