Для исследования несобственных интегралов на сходимость необходимо проанализировать поведение интегралов при крайних значениях переменной интегрирования. Рассмотрим каждый из интегралов по отдельности.

Для анализа этого интеграла важно учесть поведение функции e^(αx) x^β при x → 0 и x → ∞.

• При x → 0: e^(αx) стремится к 1, и x^β ведет себя как x^β. Таким образом, интеграл будет сходиться, если β > -1.
• При x → ∞: e^(αx) стремится к бесконечности, если α > 0. Если α < 0, то e^(αx) стремится к 0, и поведение будет зависеть от x^β. Интеграл будет сходиться, если β < -1 при α < 0.

Таким образом, интеграл сходится при следующих условиях:

• α < 0 и β < -1
• α = 0 и β > -1
• α > 0 - интеграл расходится.

Анализируем поведение при x → ∞.

• При x → ∞: ln(x) растет, и ln^β(x) также растет. Если α > 1, то 1/(x^α ln^β x) будет стремиться к 0, и интеграл будет сходиться.
• Если α = 1, то интеграл будет сходиться, если β > 1, поскольку 1/(x ln^β x) будет сходиться.
• Если α < 1, интеграл будет расходиться.

Таким образом, интеграл сходится при следующих условиях:

• α > 1
• α = 1 и β > 1
• α < 1 - интеграл расходится.

Исследуем поведение при x → 0 и x → ∞.

• При x → 0: ln(1+x^β) стремится к 0, и ln(1+x^β) ≈ x^β. Интеграл будет сходиться, если α < β + 1.
• При x → ∞: ln(1+x^β) ≈ β ln(x), и интеграл будет сходиться, если α > 1.

Таким образом, интеграл сходится при следующих условиях:

• α < β + 1 и α > 1.

Исследуем поведение при x → 0 и x → ∞.

• При x → 0: sin(x) ≈ x, и интеграл будет сходиться, если α < 1.
• При x → ∞: sin(x) колеблется, и интеграл будет сходиться, если α > 1, поскольку 1/x^α будет стремиться к 0.

Таким образом, интеграл сходится при следующих условиях:

• α < 1 и α > 1 - интеграл расходится.

В заключение, мы исследовали сходимость четырех несобственных интегралов и выделили условия, при которых они сходятся.