Чтобы показать, что определение несобственного интеграла ∫-∞+∞ f(x) dx корректно и не зависит от промежуточной точки, мы начнем с определения самого несобственного интеграла.

Несобственный интеграл от функции f(x) на бесконечном промежутке определяется как предел интеграла на конечном промежутке:

• ∫-∞+∞ f(x) dx = lim (a→-∞, b→+∞) ∫a^b f(x) dx.

Теперь, чтобы показать, что этот предел не зависит от выбора промежуточной точки, рассмотрим два произвольных конечных числа c и d, где c < d. Мы будем исследовать интеграл ∫-∞+∞ f(x) dx через два различных промежутка:

1. Первый случай: интегрируем от a до c и от c до b:
• ∫-∞+∞ f(x) dx = lim (a→-∞, b→+∞) [∫a^c f(x) dx + ∫c^b f(x) dx].
2. Второй случай: интегрируем от a до d и от d до b:
• ∫-∞+∞ f(x) dx = lim (a→-∞, b→+∞) [∫a^d f(x) dx + ∫d^b f(x) dx].

Теперь сравним оба выражения:

Мы можем записать:

• ∫a^c f(x) dx + ∫c^b f(x) dx = ∫a^d f(x) dx + ∫d^b f(x) dx.

При этом, если функция f(x) интегрируема на промежутке [c, d], то:

• ∫c^d f(x) dx = ∫c^b f(x) dx - ∫c^d f(x) dx + ∫a^d f(x) dx - ∫a^c f(x) dx.

Теперь, поскольку пределы a и b стремятся к -∞ и +∞ соответственно, разности ∫c^d f(x) dx и ∫d^c f(x) dx также стремятся к нулю, если функция f(x) интегрируема на промежутке [c, d]. Это означает, что:

• lim (a→-∞, b→+∞) ∫a^c f(x) dx + ∫c^b f(x) dx = lim (a→-∞, b→+∞) ∫a^d f(x) dx + ∫d^b f(x) dx.

Таким образом, мы видим, что значение интеграла ∫-∞+∞ f(x) dx не зависит от выбора промежуточной точки c или d, поскольку оба предела имеют одинаковое значение.

В заключение, мы доказали, что определение несобственного интеграла корректно и не зависит от промежуточной точки, так как пределы интегралов на конечных промежутках ведут к одному и тому же значению интеграла на бесконечном промежутке.