Похожие вопросы
2025-09-25 08:54:23
Упражнения
326. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на указанном промежутке:
- a) F(x)=x^{5}, f(x)=5 x^{4}, x ∈(-∞ ; ∞);
- б) F(x)=x^{-3}, f(x)=-3 x^{-4}, x ∈(0 ; ∞);
- в) F(x)=1/7 x^{7}, f(x)=x^{6}, x ∈(-∞ ; ∞);
- г) F(x)=-1/6 x^{-6}, f(x)=x^{-7}, x ∈(0 ; ∞).
Алгебра Университет Первообразные и интегралы алгебра первообразная функция доказательство упражнения интегралы производные математический анализ промежуток свойства функций
2025-09-25 08:54:40
Для того чтобы доказать, что функция F является первообразной для функции f на указанном промежутке, необходимо показать, что производная функции F равна функции f на этом промежутке. Рассмотрим каждое из заданий по отдельности.
а) F(x) = x^5, f(x) = 5x^4, x ∈ (-∞ ; ∞)1. Найдем производную функции F:
- F'(x) = d/dx (x^5) = 5x^4.
2. Сравним полученную производную с функцией f:
- f(x) = 5x^4.
3. Мы видим, что F'(x) = f(x). Таким образом, F является первообразной для f на указанном промежутке.
б) F(x) = x^{-3}, f(x) = -3x^{-4}, x ∈ (0 ; ∞)1. Найдем производную функции F:
- F'(x) = d/dx (x^{-3}) = -3x^{-4}.
2. Сравним полученную производную с функцией f:
- f(x) = -3x^{-4}.
3. Мы видим, что F'(x) = f(x). Таким образом, F является первообразной для f на указанном промежутке.
в) F(x) = (1/7)x^7, f(x) = x^6, x ∈ (-∞ ; ∞)1. Найдем производную функции F:
- F'(x) = d/dx ((1/7)x^7) = x^6.
2. Сравним полученную производную с функцией f:
- f(x) = x^6.
3. Мы видим, что F'(x) = f(x). Таким образом, F является первообразной для f на указанном промежутке.
г) F(x) = -1/6 x^{-6}, f(x) = x^{-7}, x ∈ (0 ; ∞)1. Найдем производную функции F:
- F'(x) = d/dx (-1/6 x^{-6}) = -1/6 * (-6)x^{-7} = x^{-7}.
2. Сравним полученную производную с функцией f:
- f(x) = x^{-7}.
3. Мы видим, что F'(x) = f(x). Таким образом, F является первообразной для f на указанном промежутке.
В заключение, мы доказали, что в каждом из случаев функции F являются первообразными для функций f на указанных промежутках.